Метод симметричных составляющих — различия между версиями
Windsl (обсуждение | вклад) (→Нулевая последовательность) |
Windsl (обсуждение | вклад) (→Нулевая последовательность) |
||
Строка 21: | Строка 21: | ||
Система нулевой последовательности состоит из трёх векторов <math>\displaystyle \dot A_{0}, \dot B_{0} \text { и } \dot C_{0} </math> равных по модулю и совпадающих по фазе. | Система нулевой последовательности состоит из трёх векторов <math>\displaystyle \dot A_{0}, \dot B_{0} \text { и } \dot C_{0} </math> равных по модулю и совпадающих по фазе. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Оператор а === | === Оператор а === |
Версия 10:41, 7 апреля 2020
Метод симметричных составляющих - метод расчета несимметричных электричеких систем, основанный на разложении несимметричных систем на три симметричные.
Содержание
Общие положения
Электрическая система состоит из большого количества элементов. В случае аварии на каком-либо из них, система перестает быть симметричной. Для анализа, зачастую применяют метод симметричных составляющих, суть которого состоит в том, что
Любую несимметричную систему можно однозначно разложить на три симметричные системы: прямой, обратной и нулевой последовательности чередования фаз.
Расчет электрических величин проводят с использованием схем замещения. Комплексные сопротивления для каждой из последовательностей - различны. Поэтому на основании принципа наложения, несимметричный режим представляют как результат наложения трех симметричных режимов. Проводят три расчета для схем замещения прямой, обратной и нулевой последовательности и искомая электрическая величина определяется как сумма составляющих трех последовательностей.
Разложение
Прямая последовательность
Система прямой последовательности состоит из трех векторов [math]\displaystyle \dot A_{1}, \dot B_{1} \text { и } \dot C_{1} [/math] равных по модулю и повернутых относительно друг друга на угол [math]\displaystyle 120^\circ [/math], причем вектор [math]\displaystyle \dot B_{1}[/math] отстает от вектора [math]\displaystyle \dot A_{1}[/math].
Обратная последовательность
Система обратной последовательности состоит из трех векторов [math]\displaystyle \dot A_{2}, \dot B_{2} \text { и } \dot C_{2} [/math] равных по модулю и повернутых относительно друг друга на угол [math]\displaystyle 120^\circ [/math], причем вектор [math]\displaystyle \dot B_{2}[/math] опережает вектор [math]\displaystyle \dot A_{2}[/math].
Нулевая последовательность
Система нулевой последовательности состоит из трёх векторов [math]\displaystyle \dot A_{0}, \dot B_{0} \text { и } \dot C_{0} [/math] равных по модулю и совпадающих по фазе.
Оператор а
Для упрощения расчетов используется оператор а, который равен:
[math] \displaystyle \dot a=e^{j \cdot 120^\circ}=e^{j \cdot \frac {2 \cdot \pi}{3}} [/math].
Тогда можно записать, что
[math] \displaystyle \dot B_{1} = \dot a^2 \cdot \dot A_{1} \text { и } \dot C_{1} = \dot a \cdot \dot A_{1}[/math];
[math] \displaystyle \dot B_{2} = \dot a \cdot \dot A_{2} \text { и } \dot C_{2} = \dot a^2 \cdot \dot A_{2}[/math];
[math] \displaystyle \dot A_{0} = \dot B_{0} = \dot C_{0}[/math].
Выразим произвольную трехфазную величину [math]\displaystyle \dot A, \dot B \text { и } \dot C [/math] через векторы симметричных составляющих:
[math] \displaystyle \dot A = \dot A_{1} + \dot A_{2} + \dot A_{0}[/math];
[math] \displaystyle \dot B = \dot B_{1} + \dot B_{2} + \dot B_{0}[/math];
[math] \displaystyle \dot C = \dot C_{1} + \dot C_{2} + \dot C_{0}[/math].
Запишем полученные выражения с учетом оператора а:
[math] \displaystyle \dot A = \dot A_{1} + \dot A_{2} + \dot A_{0}[/math];
[math] \displaystyle \dot B = \dot A_{1} \cdot \dot a^2 + \dot A_{2} \cdot \dot a + \dot B_{0}[/math];
[math] \displaystyle \dot C = \dot A_{1} \cdot \dot a + \dot A_{2} \cdot \dot a^2 + \dot C_{0}[/math].
Сложим эти уравнения, с учетом того, что [math] \displaystyle 1+\dot a+\dot a^2=0[/math] и получим:
[math] \displaystyle \dot A_{0} = \frac {1}{3} \cdot (\dot A + \dot B + \dot C)[/math].
Аналогичным образом выразим [math] \displaystyle \dot A_{1} \text { и } \dot A_{2}[/math]:
[math] \displaystyle \dot A_{1} = \frac {1}{3} \cdot (\dot A + \dot a \cdot \dot B + \dot a^2 \cdot \dot C)[/math];
[math] \displaystyle \dot A_{2} = \frac {1}{3} \cdot (\dot A + \dot a^2 \cdot \dot B + \dot a \cdot \dot C)[/math].
Таким образом можно записать матрицу Фортескью и свести задачу к матричной форме:
[math]\displaystyle \overline {\overline {S}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \dot a^2 & \dot a \\ 1 & \dot a & \dot a^2 \end{pmatrix} \text { , } \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \dot a & \dot a^2 \\ 1 & \dot a^2 & \dot a \end{pmatrix}. [/math]
Матричная форма
[math] \displaystyle \overline {F_{ЭВ}} = \overline{\overline{S}} \cdot \overline{F_{CC}} \text { или } \overline{F_{CC}} = \overline {\overline{S^{-1}}} \cdot \overline{F_{ЭВ}}[/math],
где [math] \displaystyle \overline{F_{ЭВ}} \text { - фазный вектор произвольной величины, } \overline{F_{CC}} \text { - вектор симметричных составляющих.}[/math]
Пример разложения
Пусть есть несимметричная система токов:
[math] \displaystyle \dot I_{A} = 2,791 \angle -23,277^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{B} = 4,281 \angle -144,316^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{C} = 1,934 \angle 50,077^\circ \text { A }[/math].
Найдем симметричные составляющие:
[math] \displaystyle \overline{I_{CC}} = \overline {\overline{S^{-1}}} \cdot \overline{I_{НС}}[/math],
где [math] \displaystyle \overline{I_{НС}} \text { - фазный вектор исходных токов несеммитричной системы, } \overline{I_{CC}} \text { - вектор симметричных составляющих токов.}[/math]
[math]\displaystyle \overline{I_{CC}} = \begin{pmatrix} \dot I_{0} \\ \dot I_{1} \\ \dot I_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,791 \angle -23,277^\circ \\ 4,281 \angle -144,316^\circ \\ 1,934 \angle 50,077^\circ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \dot a & \dot a^2 \\ 1 & \dot a^2 & \dot a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,714 \angle -81,193^\circ \\ 2,843 \angle -33,295^\circ \\ 1,166 \angle 86,144^\circ \end{pmatrix} [/math]
Таким образом,
[math] \displaystyle \dot I_{A_{0}} = \dot I_{B_{0}} = \dot I_{C_{0}} = 0,714 \angle -81,193^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{A_{1}} = 2,843 \angle -33,295^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{B_{1}} = \dot I_{A_{1}} \cdot \dot a^2 = 2,843 \angle -153,295^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{C_{1}} = \dot I_{A_{1}} \cdot \dot a = 2,843 \angle 86,705^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{A_{2}} = 1,166 \angle 86,144^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{B_{2}} = \dot I_{A_{2}} \cdot \dot a = 1,166 \angle -153,856^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{C_{2}} = \dot I_{A_{2}} \cdot \dot a^2 = 1,166 \angle -33,856^\circ \text { A }[/math].
Векторная диаграмма разложения представленна на рисунке 1.