Метод симметричных составляющих — различия между версиями
Windsl (обсуждение | вклад) (→Нулевая последовательность) |
Windsl (обсуждение | вклад) |
||
(не показано 5 промежуточных версий 2 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | Метод симметричных | + | Метод симметричных составляющих — метод расчета несимметричных электричеких систем, основанный на разложении несимметричных систем на три симметричные. |
[[Файл:Сим_сост_1.jpg|700px|справа]] | [[Файл:Сим_сост_1.jpg|700px|справа]] | ||
+ | |||
== Общие положения == | == Общие положения == | ||
− | |||
Электрическая система состоит из большого количества элементов. В случае аварии на каком-либо из них, система перестает быть симметричной. Для анализа, зачастую применяют метод симметричных составляющих, суть которого состоит в том, что | Электрическая система состоит из большого количества элементов. В случае аварии на каком-либо из них, система перестает быть симметричной. Для анализа, зачастую применяют метод симметричных составляющих, суть которого состоит в том, что | ||
Любую несимметричную систему можно однозначно разложить на три симметричные системы: прямой, обратной и нулевой последовательности чередования фаз. | Любую несимметричную систему можно однозначно разложить на три симметричные системы: прямой, обратной и нулевой последовательности чередования фаз. | ||
− | Расчет электрических величин проводят с использованием схем замещения. Комплексные сопротивления для каждой из | + | Расчет электрических величин проводят с использованием схем замещения. Комплексные сопротивления для каждой из последовательностей — различны. Поэтому на основании принципа наложения, несимметричный режим представляют как результат наложения трех симметричных режимов. Проводят три расчета для схем замещения прямой, обратной и нулевой последовательности и искомая электрическая величина определяется как сумма составляющих трех последовательностей. |
+ | |||
+ | == Разложение в комплексных числах == | ||
− | |||
=== Прямая последовательность === | === Прямая последовательность === | ||
− | |||
Система прямой последовательности состоит из трех векторов <math>\displaystyle \dot A_{1}, \dot B_{1} \text { и } \dot C_{1} </math> равных по модулю и повернутых относительно друг друга на угол <math>\displaystyle 120^\circ </math>, причем вектор <math>\displaystyle \dot B_{1}</math> отстает от вектора <math>\displaystyle \dot A_{1}</math>. | Система прямой последовательности состоит из трех векторов <math>\displaystyle \dot A_{1}, \dot B_{1} \text { и } \dot C_{1} </math> равных по модулю и повернутых относительно друг друга на угол <math>\displaystyle 120^\circ </math>, причем вектор <math>\displaystyle \dot B_{1}</math> отстает от вектора <math>\displaystyle \dot A_{1}</math>. | ||
=== Обратная последовательность === | === Обратная последовательность === | ||
− | |||
Система обратной последовательности состоит из трех векторов <math>\displaystyle \dot A_{2}, \dot B_{2} \text { и } \dot C_{2} </math> равных по модулю и повернутых относительно друг друга на угол <math>\displaystyle 120^\circ </math>, причем вектор <math>\displaystyle \dot B_{2}</math> опережает вектор <math>\displaystyle \dot A_{2}</math>. | Система обратной последовательности состоит из трех векторов <math>\displaystyle \dot A_{2}, \dot B_{2} \text { и } \dot C_{2} </math> равных по модулю и повернутых относительно друг друга на угол <math>\displaystyle 120^\circ </math>, причем вектор <math>\displaystyle \dot B_{2}</math> опережает вектор <math>\displaystyle \dot A_{2}</math>. | ||
=== Нулевая последовательность === | === Нулевая последовательность === | ||
− | |||
Система нулевой последовательности состоит из трёх векторов <math>\displaystyle \dot A_{0}, \dot B_{0} \text { и } \dot C_{0} </math> равных по модулю и совпадающих по фазе. | Система нулевой последовательности состоит из трёх векторов <math>\displaystyle \dot A_{0}, \dot B_{0} \text { и } \dot C_{0} </math> равных по модулю и совпадающих по фазе. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Оператор а === | === Оператор а === | ||
− | |||
Для упрощения расчетов используется оператор а, который равен: | Для упрощения расчетов используется оператор а, который равен: | ||
Строка 67: | Строка 61: | ||
Таким образом можно записать матрицу Фортескью и свести задачу к матричной форме: | Таким образом можно записать матрицу Фортескью и свести задачу к матричной форме: | ||
− | <math>\displaystyle \ | + | <math>\displaystyle \textbf{S} = |
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 | \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 | ||
\\ 1 & \dot a^2 & \dot a | \\ 1 & \dot a^2 & \dot a | ||
Строка 80: | Строка 74: | ||
=== Матричная форма === | === Матричная форма === | ||
+ | <math> \displaystyle \mathbf {F}_{ЭВ} = \mathbf{S} \cdot \mathbf {F}_{CC} \text { или } \mathbf{F}_{CC} = \mathbf{S}^{-1} \cdot \mathbf{F}_{ЭВ}</math>, | ||
− | <math> \displaystyle \ | + | где <math> \displaystyle \mathbf{F}_{ЭВ} \text { - фазный вектор произвольной величины, } \mathbf{F}_{CC} \text { - вектор симметричных составляющих.}</math> |
− | + | == Разложение в действительных числах == | |
+ | |||
+ | В некоторых случаях при получении прямой, обратной и нулевой последовательности удобнее использовать не комплексную форму представления величин, а в виде компонент в прямоуголных координатах. | ||
+ | |||
+ | Прямая последовательность: | ||
+ | |||
+ | <math> \displaystyle X1' = \frac{1}{3} \left( Xa' - \frac{1}{2} Xb' - \frac{\sqrt{3}}{2} Xb'' - \frac{1}{2} Xc' + \frac{ \sqrt{3} }{2} Xc'' \right) </math>; | ||
+ | |||
+ | <math> \displaystyle X1''= \frac{1}{3} \left( Xa'' + \frac{ \sqrt{3} }{2} Xb' - \frac{1}{2} Xb'' - \frac{ \sqrt{3} }{2} Xc' - \frac{1}{2} Xc'' \right) </math>; | ||
+ | где | ||
+ | |||
+ | * <math>X1'</math> - действительная часть вектора прямой последовательности; | ||
+ | * <math>X1''</math> - мнимая часть вектора прямой последовательности; | ||
+ | * <math>Xa'</math> - действительная часть вектора фазы А; | ||
+ | * <math>Xa''</math> - мнимая часть вектора вектора фазы А; | ||
+ | * <math>Xb'</math> - действительная часть вектора фазы В; | ||
+ | * <math>Xb''</math> - мнимая часть вектора вектора фазы В; | ||
+ | * <math>Xc'</math> - действительная часть вектора фазы C; | ||
+ | * <math>Xc''</math> - мнимая часть вектора вектора фазы C. | ||
== Пример разложения == | == Пример разложения == | ||
Строка 98: | Строка 111: | ||
Найдем симметричные составляющие: | Найдем симметричные составляющие: | ||
− | <math> \displaystyle \ | + | <math> \displaystyle \mathbf{I}_{CC} = \mathbf {S}^{-1} \cdot \mathbf{I}_{НС}</math>, |
− | где <math> \displaystyle \ | + | где <math> \displaystyle \mathbf{I}_{НС} \text { - фазный вектор исходных токов несеммитричной системы, } \mathbf{I}_{CC} \text { - вектор симметричных составляющих токов.}</math> |
− | <math>\displaystyle \ | + | <math>\displaystyle \mathbf{I}_{CC} = |
\begin{pmatrix} \dot I_{0} | \begin{pmatrix} \dot I_{0} | ||
\\ \dot I_{1} | \\ \dot I_{1} | ||
Строка 141: | Строка 154: | ||
Векторная диаграмма разложения представленна на рисунке 1. | Векторная диаграмма разложения представленна на рисунке 1. | ||
+ | |||
+ | = Рекомендуемая литература = | ||
+ | |||
+ | * Ульянов С. А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах Учебник для электротехнических и энергетических ВУЗов и факультетов. М., «Энергия», 1970. | ||
+ | * Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Учебник для энергетических и электротехнических вузов и факультетов. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Категория:Короткие замыкания]] |
Текущая версия на 09:05, 29 октября 2021
Метод симметричных составляющих — метод расчета несимметричных электричеких систем, основанный на разложении несимметричных систем на три симметричные.
Содержание
Общие положения
Электрическая система состоит из большого количества элементов. В случае аварии на каком-либо из них, система перестает быть симметричной. Для анализа, зачастую применяют метод симметричных составляющих, суть которого состоит в том, что
Любую несимметричную систему можно однозначно разложить на три симметричные системы: прямой, обратной и нулевой последовательности чередования фаз.
Расчет электрических величин проводят с использованием схем замещения. Комплексные сопротивления для каждой из последовательностей — различны. Поэтому на основании принципа наложения, несимметричный режим представляют как результат наложения трех симметричных режимов. Проводят три расчета для схем замещения прямой, обратной и нулевой последовательности и искомая электрическая величина определяется как сумма составляющих трех последовательностей.
Разложение в комплексных числах
Прямая последовательность
Система прямой последовательности состоит из трех векторов [math]\displaystyle \dot A_{1}, \dot B_{1} \text { и } \dot C_{1} [/math] равных по модулю и повернутых относительно друг друга на угол [math]\displaystyle 120^\circ [/math], причем вектор [math]\displaystyle \dot B_{1}[/math] отстает от вектора [math]\displaystyle \dot A_{1}[/math].
Обратная последовательность
Система обратной последовательности состоит из трех векторов [math]\displaystyle \dot A_{2}, \dot B_{2} \text { и } \dot C_{2} [/math] равных по модулю и повернутых относительно друг друга на угол [math]\displaystyle 120^\circ [/math], причем вектор [math]\displaystyle \dot B_{2}[/math] опережает вектор [math]\displaystyle \dot A_{2}[/math].
Нулевая последовательность
Система нулевой последовательности состоит из трёх векторов [math]\displaystyle \dot A_{0}, \dot B_{0} \text { и } \dot C_{0} [/math] равных по модулю и совпадающих по фазе.
Оператор а
Для упрощения расчетов используется оператор а, который равен:
[math] \displaystyle \dot a=e^{j \cdot 120^\circ}=e^{j \cdot \frac {2 \cdot \pi}{3}} [/math].
Тогда можно записать, что
[math] \displaystyle \dot B_{1} = \dot a^2 \cdot \dot A_{1} \text { и } \dot C_{1} = \dot a \cdot \dot A_{1}[/math];
[math] \displaystyle \dot B_{2} = \dot a \cdot \dot A_{2} \text { и } \dot C_{2} = \dot a^2 \cdot \dot A_{2}[/math];
[math] \displaystyle \dot A_{0} = \dot B_{0} = \dot C_{0}[/math].
Выразим произвольную трехфазную величину [math]\displaystyle \dot A, \dot B \text { и } \dot C [/math] через векторы симметричных составляющих:
[math] \displaystyle \dot A = \dot A_{1} + \dot A_{2} + \dot A_{0}[/math];
[math] \displaystyle \dot B = \dot B_{1} + \dot B_{2} + \dot B_{0}[/math];
[math] \displaystyle \dot C = \dot C_{1} + \dot C_{2} + \dot C_{0}[/math].
Запишем полученные выражения с учетом оператора а:
[math] \displaystyle \dot A = \dot A_{1} + \dot A_{2} + \dot A_{0}[/math];
[math] \displaystyle \dot B = \dot A_{1} \cdot \dot a^2 + \dot A_{2} \cdot \dot a + \dot B_{0}[/math];
[math] \displaystyle \dot C = \dot A_{1} \cdot \dot a + \dot A_{2} \cdot \dot a^2 + \dot C_{0}[/math].
Сложим эти уравнения, с учетом того, что [math] \displaystyle 1+\dot a+\dot a^2=0[/math] и получим:
[math] \displaystyle \dot A_{0} = \frac {1}{3} \cdot (\dot A + \dot B + \dot C)[/math].
Аналогичным образом выразим [math] \displaystyle \dot A_{1} \text { и } \dot A_{2}[/math]:
[math] \displaystyle \dot A_{1} = \frac {1}{3} \cdot (\dot A + \dot a \cdot \dot B + \dot a^2 \cdot \dot C)[/math];
[math] \displaystyle \dot A_{2} = \frac {1}{3} \cdot (\dot A + \dot a^2 \cdot \dot B + \dot a \cdot \dot C)[/math].
Таким образом можно записать матрицу Фортескью и свести задачу к матричной форме:
[math]\displaystyle \textbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \dot a^2 & \dot a \\ 1 & \dot a & \dot a^2 \end{pmatrix} \text { , } \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \dot a & \dot a^2 \\ 1 & \dot a^2 & \dot a \end{pmatrix}. [/math]
Матричная форма
[math] \displaystyle \mathbf {F}_{ЭВ} = \mathbf{S} \cdot \mathbf {F}_{CC} \text { или } \mathbf{F}_{CC} = \mathbf{S}^{-1} \cdot \mathbf{F}_{ЭВ}[/math],
где [math] \displaystyle \mathbf{F}_{ЭВ} \text { - фазный вектор произвольной величины, } \mathbf{F}_{CC} \text { - вектор симметричных составляющих.}[/math]
Разложение в действительных числах
В некоторых случаях при получении прямой, обратной и нулевой последовательности удобнее использовать не комплексную форму представления величин, а в виде компонент в прямоуголных координатах.
Прямая последовательность:
[math] \displaystyle X1' = \frac{1}{3} \left( Xa' - \frac{1}{2} Xb' - \frac{\sqrt{3}}{2} Xb'' - \frac{1}{2} Xc' + \frac{ \sqrt{3} }{2} Xc'' \right) [/math];
[math] \displaystyle X1''= \frac{1}{3} \left( Xa'' + \frac{ \sqrt{3} }{2} Xb' - \frac{1}{2} Xb'' - \frac{ \sqrt{3} }{2} Xc' - \frac{1}{2} Xc'' \right) [/math]; где
- [math]X1'[/math] - действительная часть вектора прямой последовательности;
- [math]X1''[/math] - мнимая часть вектора прямой последовательности;
- [math]Xa'[/math] - действительная часть вектора фазы А;
- [math]Xa''[/math] - мнимая часть вектора вектора фазы А;
- [math]Xb'[/math] - действительная часть вектора фазы В;
- [math]Xb''[/math] - мнимая часть вектора вектора фазы В;
- [math]Xc'[/math] - действительная часть вектора фазы C;
- [math]Xc''[/math] - мнимая часть вектора вектора фазы C.
Пример разложения
Пусть есть несимметричная система токов:
[math] \displaystyle \dot I_{A} = 2,791 \angle -23,277^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{B} = 4,281 \angle -144,316^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{C} = 1,934 \angle 50,077^\circ \text { A }[/math].
Найдем симметричные составляющие:
[math] \displaystyle \mathbf{I}_{CC} = \mathbf {S}^{-1} \cdot \mathbf{I}_{НС}[/math],
где [math] \displaystyle \mathbf{I}_{НС} \text { - фазный вектор исходных токов несеммитричной системы, } \mathbf{I}_{CC} \text { - вектор симметричных составляющих токов.}[/math]
[math]\displaystyle \mathbf{I}_{CC} = \begin{pmatrix} \dot I_{0} \\ \dot I_{1} \\ \dot I_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,791 \angle -23,277^\circ \\ 4,281 \angle -144,316^\circ \\ 1,934 \angle 50,077^\circ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \dot a & \dot a^2 \\ 1 & \dot a^2 & \dot a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,714 \angle -81,193^\circ \\ 2,843 \angle -33,295^\circ \\ 1,166 \angle 86,144^\circ \end{pmatrix} [/math]
Таким образом,
[math] \displaystyle \dot I_{A_{0}} = \dot I_{B_{0}} = \dot I_{C_{0}} = 0,714 \angle -81,193^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{A_{1}} = 2,843 \angle -33,295^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{B_{1}} = \dot I_{A_{1}} \cdot \dot a^2 = 2,843 \angle -153,295^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{C_{1}} = \dot I_{A_{1}} \cdot \dot a = 2,843 \angle 86,705^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{A_{2}} = 1,166 \angle 86,144^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{B_{2}} = \dot I_{A_{2}} \cdot \dot a = 1,166 \angle -153,856^\circ \text { A }[/math];
[math] \displaystyle \dot I_{C_{2}} = \dot I_{A_{2}} \cdot \dot a^2 = 1,166 \angle -33,856^\circ \text { A }[/math].
Векторная диаграмма разложения представленна на рисунке 1.
Рекомендуемая литература
- Ульянов С. А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах Учебник для электротехнических и энергетических ВУЗов и факультетов. М., «Энергия», 1970.
- Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Учебник для энергетических и электротехнических вузов и факультетов.