Контурные уравнения для расчёта установившегося режима

Метод контурных уравнений предназначен для расчёта параметров установившихся режимов сложнозамкнутых электрических сетей. Суть метода заключается в составлении и решении системы контурных уравнений и определении на их основе параметров режима. Система контурных уравнений может быть записана в форме токов или мощностей. Число независимых контурных уравнений соответствует числу независимых контуров схемы. Составление контурных уравнений опирается на использование I и II законов Кирхгофа.

Вывод уравнений в случае задания нагрузок токами

Рассмотрим вывод уравнений на примере схемы электрической сети, представленной на рисунке 1.

Запишем I закон Кирхгофа для всех узлов:

узел 2: [math] - \dot I_{12} + \dot I_2 + \dot I_{24} = 0 [/math] (1)

узел 3: [math] - \dot I_{13} + \dot I_3 + \dot I_{34} + \dot I_{35} = 0 [/math] (2)

узел 4: [math] - \dot I_{34} - \dot I_{24} + \dot I_{4} + \dot I_{45} = 0 [/math] (3)

узел 5: [math] - \dot I_{35} - \dot I_{45} + \dot I_{5} = 0 [/math] (4)

для первого узла не имеет смысла записывать I закон Кирхгофа, так как первый узел является балансирующим.

Обозначим остовное дерево графа сети и направление контурных токов, как показано на рисунке 2.

На рисунке 2 жирными линиями обозначено остовное дерево графа сети, тонкими линиями хорды. Для удобства составления контурных уравнений рекомендуется выбирать остовное дерево так, чтобы между контурами были только рёбра графа, входящие в остовное дерево. Другими словами хорды графа должны быть с краёв графа сети. В приведённом примере графа сети не рекомендуется брать в качестве хорды ветвь 3-4, так как это приведёт к тому, что один из двух контуров будет вложен в другой. В свою очередь это увеличит количество слагаемых в контурных уравнений.

Значения контурных токов равны значениям токов ветвей, не входящих в состав дерева, поэтому:

[math]\dot I_{I} = \dot I_{24} [/math] (5), и [math]\dot I_{II} = \dot I_{45} [/math]. (6)

Для удобства будем называть токи [math]\dot I_{2}, \dot I_{3}, \dot I_{4}, \dot I_{5}[/math] - узловые токи,

а [math]\dot I_{12}, \dot I_{13}, \dot I_{24}, \dot I_{34}, \dot I_{35}, \dot I_{45}[/math] - межузловые токи.

Далее, необходимо выразить все межузловые токи через контурные или узловые токи, не забывая про соотношения (5) и (6). Отсюда получаем:

[math]\dot I_{12} = \dot I_{I}+\dot I_{2} [/math], (7)

[math]\dot I_{13} = \dot I_{3}+\dot I_{35}+\dot I_{34} [/math], (8)

[math]\dot I_{35} = \dot I_{5}-\dot I_{II} [/math], (9)

[math]\dot I_{34} = \dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I} [/math], (10)

Подставляем выражения (9) и (10) в (8), получаем:

[math]\dot I_{13} = \dot I_{3}+\dot I_{4}+\dot I_{5}-\dot I_{I} [/math], (11)

Запишем II закон Кирхгофа для двух контуров в виде системы:

[math]\dot U_{12}+\dot U_{24}-\dot U_{34}-\dot U_{13}=0 [/math]

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot U_{12}+\dot U_{24}-\dot U_{34}-\dot U_{13}=0 \\ \dot U_{34}+\dot U_{45}-\dot U_{35}=0 \end{cases}. [/math] (12)

Воспользуемся законом Ома, согласно которому [math]\dot U_{ij}=\dot I_{ij} \cdot \underline Z_{ij} [/math] (13)

Запишем систему уравнений (12), используя соотношение (13):

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot I_{12} \underline Z_{12} + \dot I_{24} \underline Z_{24} - \dot I_{34}\underline Z_{34} - \dot I_{13}\underline Z_{13} = 0 \\ \dot I_{34} \underline Z_{34} + \dot I_{45} \underline Z_{45} - \dot I_{35}\underline Z_{35} = 0 \end{cases}. [/math] (14)

Теперь, используя соотношения (7)-(11), то есть, записывая межузловые токи через контурные или узловые токи, запишем новую систему уравнений:

[math]\displaystyle \begin{cases} \left(\dot I_{I}+\dot I_{2}\right)\underline Z_{12}+\dot I_{I}\underline Z_{24}-\left(\dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{34}-\left(\dot I_{3}+\dot I_{4}+\dot I_{5}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{13}=0 \\ \left(\dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{34}+\dot I_{II}\underline Z_{45}-\left(\dot I_{5}-\dot I_{II}\right)\underline Z_{35}=0 \end{cases}. [/math] (15)

Сгруппируем относительно [math]\dot I_{I}[/math] и [math]\dot I_{II}[/math], получаем:

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot I_{I}\left(\underline Z_{12}+\underline Z_{24}+\underline Z_{34}+\underline Z_{13}\right)+\dot I_{II}\left(-\underline Z_{34}\right)+\left[\dot I_{2}\underline Z_{12}-\dot I_{4}\left(\underline Z_{34}+\underline Z_{13}\right)-\dot I_{3}\underline Z_{13}-\dot I_{5}\underline Z_{13}\right]=0 (16.1)\\ \dot I_{I}\left(-\underline Z_{34}\right)+\dot I_{II}\left(\underline Z_{34}+\underline Z_{45}+\underline Z_{35}\right)+\left[\dot I_{4}\underline Z_{34}-\dot I_{5}\underline Z_{35}\right]=0 (16.2) \end{cases}. [/math] (16)

Пояснение к вышеобозначенной системе (16).

Множитель тока [math]\dot I_{I}[/math] в первом уравнении (16.1) является собственным сопротивлением первого контура, включает в себя сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Обозначается [math]\underline Z_{II}[/math]

Множитель тока [math]\dot I_{II}[/math] в первом уравнении (16.1) является взаимным сопротивлением первого и второго контуров с учетом знака*. Обозначается [math]\underline Z_{I,II}[/math]

Множитель тока [math]\dot I_{I}[/math] во втором уравнении (16.2) является взаимным сопротивлением первого и второго контуров с учетом знака*. Обозначается [math]\underline Z_{II,I}[/math]

Множитель тока [math]\dot I_{II}[/math] во втором уравнении (16.2) является собственным сопротивлением второго контура, включает в себя сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Обозначается [math]\underline Z_{II II}[/math]

Оставшиеся составляющие уравнений носят название Свободных составляющих. В системе (16) заключены в квадратные скобки. Обозначаются [math]A_{I}[/math] и [math]A_{II}[/math], соответственно.

• - знак "+" выбирается, если контурные токи, протекающие по взаимному сопротивлению, сонаправлены, другими словами, "шестеренки" прокручиваются;

знак "-" выбирается, если контурные токи, протекающие по взаимному сопротивлению, противонаправлены, другими словами, "шестеренки" застопорены;

Исходя из вышесказанного, систему (16) можно представить в более наглядном виде:

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot I_{I}\underline Z_{I,I}+\dot I_{II}\underline Z_{I,II}+A_{I}=0 \\ \dot I_{I}\underline Z_{II,I}+\dot I_{II}\underline Z_{II,II}+A_{II}=0 \end{cases}. [/math] (17)

Контурные уравнения в форме баланса мощностей

Представим токи через соответствующие мощность и напряжение:

[math]\displaystyle \dot I_{i}=\frac{\hat S_{i}}{\hat U_{i}\sqrt{3}}[/math] (18)