Контурные уравнения для расчёта установившегося режима

Метод контурных уравнений предназначен для расчёта параметров установившихся режимов сложнозамкнутых электрических сетей. Суть метода заключается в составлении и решении системы контурных уравнений и определении на их основе параметров режима. Система контурных уравнений может быть записана в форме токов или мощностей. Число независимых контурных уравнений соответствует числу независимых контуров схемы. Составление контурных уравнений опирается на использование I и II законов Кирхгофа.

Вывод уравнений в случае задания нагрузок токами

Рассмотрим вывод уравнений на примере схемы электрической сети, представленной на рисунке 1.

Рисунок 1 — Пример схемы электрической сети для вывода контурных уравнений

Запишем I закон Кирхгофа для всех узлов:

узел 2: [math] - \dot I_{12} + \dot I_2 + \dot I_{24} = 0 [/math] (1)

узел 3: [math] - \dot I_{13} + \dot I_3 + \dot I_{34} + \dot I_{35} = 0 [/math] (2)

узел 4: [math] - \dot I_{34} - \dot I_{24} + \dot I_{4} + \dot I_{45} = 0 [/math] (3)

узел 5: [math] - \dot I_{35} - \dot I_{45} + \dot I_{5} = 0 [/math] (4)

для первого узла не имеет смысла записывать I закон Кирхгофа, так как первый узел является балансирующим.

Обозначим остовное дерево графа сети и направление контурных токов, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2 — Пример выбора остовного дерева графа электрической сети

На рисунке 2 жирными линиями обозначено остовное дерево графа сети, тонкими линиями хорды.

Правило составления контура:
В контур могут входить только ветви из остовного дерева и только одна хорда. 

Для удобства составления контурных уравнений рекомендуется выбирать остовное дерево так, чтобы между контурами были только рёбра графа, входящие в остовное дерево. Другими словами хорды графа должны быть с краёв графа сети. В приведённом примере графа сети не рекомендуется брать в качестве хорды ветвь 3-4, так как это приведёт к тому, что один из двух контуров будет вложен в другой. В свою очередь это увеличит количество слагаемых в контурных уравнений.

Значения контурных токов равны значениям токов ветвей, не входящих в состав дерева, поэтому:

[math]\dot I_{I} = \dot I_{24} [/math] (5), и [math]\dot I_{II} = \dot I_{45} [/math]. (6)

Для удобства будем называть токи [math]\dot I_{2}, \dot I_{3}, \dot I_{4}, \dot I_{5}[/math] — узловые токи,

а [math]\dot I_{12}, \dot I_{13}, \dot I_{24}, \dot I_{34}, \dot I_{35}, \dot I_{45}[/math] — межузловые токи.

Далее, необходимо выразить все межузловые токи через контурные или узловые токи, не забывая про соотношения (5) и (6). Отсюда получаем:

[math]\dot I_{12} = \dot I_{I}+\dot I_{2} [/math], (7)

[math]\dot I_{13} = \dot I_{3}+\dot I_{35}+\dot I_{34} [/math], (8)

[math]\dot I_{35} = \dot I_{5}-\dot I_{II} [/math], (9)

[math]\dot I_{34} = \dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I} [/math], (10)

Подставляем выражения (9) и (10) в (8), получаем:

[math]\dot I_{13} = \dot I_{3}+\dot I_{4}+\dot I_{5}-\dot I_{I} [/math], (11)

Запишем II закон Кирхгофа для двух контуров в виде системы:

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot U_{12}+\dot U_{24}-\dot U_{34}-\dot U_{13}=0 \\ \dot U_{34}+\dot U_{45}-\dot U_{35}=0 \end{cases}. [/math] (12)

Воспользуемся законом Ома, согласно которому [math]\dot U_{ij}=\dot I_{ij} \cdot \underline Z_{ij} [/math] (13)

Запишем систему уравнений (12), используя соотношение (13):

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot I_{12} \underline Z_{12} + \dot I_{24} \underline Z_{24} - \dot I_{34}\underline Z_{34} - \dot I_{13}\underline Z_{13} = 0 \\ \dot I_{34} \underline Z_{34} + \dot I_{45} \underline Z_{45} - \dot I_{35}\underline Z_{35} = 0 \end{cases}. [/math] (14)

Теперь, используя соотношения (7)-(11), то есть, записывая межузловые токи через контурные или узловые токи, запишем новую систему уравнений:

[math]\displaystyle \begin{cases} \left(\dot I_{I}+\dot I_{2}\right)\underline Z_{12}+\dot I_{I}\underline Z_{24}-\left(\dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{34}-\left(\dot I_{3}+\dot I_{4}+\dot I_{5}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{13}=0 \\ \left(\dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{34}+\dot I_{II}\underline Z_{45}-\left(\dot I_{5}-\dot I_{II}\right)\underline Z_{35}=0 \end{cases}. [/math] (15)

Сгруппировав относительно [math]\dot I_{I}[/math] и [math]\dot I_{II}[/math], получаем систему контурных уравнений в форме баланса токов:

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot I_{I}\left(\underline Z_{12}+\underline Z_{24}+\underline Z_{34}+\underline Z_{13}\right)+\dot I_{II}\left(-\underline Z_{34}\right)+\left[\dot I_{2}\underline Z_{12}-\dot I_{4}\left(\underline Z_{34}+\underline Z_{13}\right)-\dot I_{3}\underline Z_{13}-\dot I_{5}\underline Z_{13}\right]=0 (16.1)\\ \dot I_{I}\left(-\underline Z_{34}\right)+\dot I_{II}\left(\underline Z_{34}+\underline Z_{45}+\underline Z_{35}\right)+\left[\dot I_{4}\underline Z_{34}-\dot I_{5}\underline Z_{35}\right]=0 (16.2) \end{cases}. [/math] (16) форма баланса токов.

Пояснение к вышеобозначенной системе (16).

Множитель тока [math]\dot I_{I}[/math] в первом уравнении (16.1) является собственным сопротивлением первого контура, включает в себя сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Обозначается [math]\underline Z_{I,I}[/math].

Множитель тока [math]\dot I_{II}[/math] в первом уравнении (16.1) является взаимным сопротивлением первого и второго контуров с учетом знака[*]. Обозначается [math]\underline Z_{I,II}[/math] .

Множитель тока [math]\dot I_{I}[/math] во втором уравнении (16.2) является взаимным сопротивлением первого и второго контуров с учетом знака[*]. Обозначается [math]\underline Z_{II,I}[/math].

Множитель тока [math]\dot I_{II}[/math] во втором уравнении (16.2) является собственным сопротивлением второго контура, включает в себя сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Обозначается [math]\underline Z_{II,II}[/math].

Оставшиеся составляющие уравнений носят название Свободных составляющих. В системе (16) заключены в квадратные скобки. Обозначаются [math]A_{I}[/math] и [math]A_{II}[/math], соответственно.

[*] — знак «+» выбирается, если контурные токи, протекающие по взаимному сопротивлению, сонаправлены, другими словами, «шестеренки» прокручиваются;

знак «-» выбирается, если контурные токи, протекающие по взаимному сопротивлению, противонаправлены, другими словами, «шестеренки» застопорены.

Исходя из вышесказанного, систему (16) можно представить в более наглядном виде:

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot I_{I}\underline Z_{I,I}+\dot I_{II}\underline Z_{I,II}+A_{I}=0 \\ \dot I_{I}\underline Z_{II,I}+\dot I_{II}\underline Z_{II,II}+A_{II}=0 \end{cases}. [/math] (17) общий вид формы баланса токов.

Контурные уравнения в форме баланса мощностей

Представим токи через соответствующие мощность и напряжение:

[math]\displaystyle \dot I_{i}=\frac{\hat S_{i}}{\hat U_{i}\sqrt{3}}[/math] (18)

Подставим выражение (18) в систему (17), переобозначим свободную составляющую как [math] B_{I}[/math] и [math] B_{II}[/math]:

[math]\displaystyle \begin{cases} \frac {\hat S_{I}}{\hat U}\underline Z_{I,I}+\frac {\hat S_{II}}{\hat U}\underline Z_{I,II}+\frac {\hat B_{I}}{\hat U}=0 \\ \frac {\hat S_{I}}{\hat U}\underline Z_{II,I}+\frac {\hat S_{II}}{\hat U}\underline Z_{II,II}+\frac {\hat B_{II}}{\hat U}=0 \end{cases}. [/math] (19)

Домножим каждое уравнение системы (19) на [math]\hat U[/math], получим:

[math]\displaystyle \begin{cases} \hat S_{I}\underline Z_{I,I}+\hat S_{II}\underline Z_{I,II}+\hat B_{I}=0 \\ \hat S_{I}\underline Z_{II,I}+\hat S_{II}\underline Z_{II,II}+\hat B_{II}=0 \end{cases}. [/math] (20)

Взяв сопряжение от каждого уравнения системы (20), мы получаем систему контурных уравнений в форме баланса мощностей:

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot S_{I}\hat {Z}_{I,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{I,II}+\dot B_{I}=0 \\ \dot S_{I}\hat {Z}_{II,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{II,II}+\dot B_{II}=0 \end{cases}. [/math] (21) форма баланса мощностей.

Пример расчёта потокораспределения в сети методом контурных уравнений

Для сети (рис. 3) расчитать потокораспределение без учёта потерь мощности методом контурных уравнений.

Рисунок 3 — Схема исследуемой сети

Исходные данные:

[math]\dot S_{2}=35+j15[/math] МВА,

[math]\dot S_{3}=25+j10[/math] МВА,

[math]\dot S_{4}=-20-j10[/math] МВА,

[math]\dot S_{5}=40+j25[/math] МВА,

[math]\underline Z_{12}=5+j17[/math] Ом,

[math]\underline Z_{24}=4+j16[/math] Ом,

[math]\underline Z_{34}=5+j19[/math] Ом,

[math]\underline Z_{13}=8+j30[/math] Ом,

[math]\underline Z_{35}=7+j26[/math] Ом,

[math]\underline Z_{45}=6+j22[/math] Ом.

Запишем систему следующего вида:

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot S_{I}\hat {Z}_{I,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{I,II}=-\dot B_{I} \\ \dot S_{I}\hat {Z}_{II,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{II,II}=-\dot B_{II} \end{cases}[/math], где

[math]\underline Z_{I,I}=\underline Z_{12}+\underline Z_{24}+\underline Z_{34}+\underline Z_{13}=(5+j17)+(4+j16)+(5+j19)+(8+j30)=22+j82 [/math] Ом,

[math]\underline Z_{II,II}=\underline Z_{34}+\underline Z_{45}+\underline Z_{35}=(5+j19)+(6+j22)+(7+j26)=18+j67[/math] Ом,

[math]\underline Z_{I,II}=\underline Z_{II,I}=-\underline Z_{34}=-5-j19[/math] Ом.

Рисунок 4 — Определение знаков перед сопротивлениями в выражении свободной составляющей

Для записи выражений свободных составляющих [math]\dot B_{I}[/math] и [math]\dot B_{II}[/math] воспользуемся рисунком №4. Данный рисунок, а также все указанные в нем направления стрелок, необходимы исключительно для формирования [math]\dot B_{I}[/math] и [math]\dot B_{II}[/math]. Направление перетока всегда от базового узла. Направление контурных мощностей неизменно. Если направление данного перетока совпадает с направлением контурного потока, то сопротивление, по которому протекает данный переток мощности, берется со знаком "+". Если направления не совпадают, то сопротивление берется со знаком "-". В случае однородной сети, вместо сопротивлений можно использовать длины ЛЭП по вышеобозначенному принципу.

[math]\dot B_{I}=-\hat {Z}_{13}\left(\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}+\dot S_{2}\right)-\hat {Z}_{34}\left(\dot S_{4}+\dot S_{2}\right)-\hat {Z}_{24}\left(\dot S_{2}\right)=-(8-j30)(25+j10+(-20-j10)+40+j25+35+j15)-(5-j19)((-20-j10)+35+j15)-(4-j16)(35+j15)=-2390+j2840[/math],

[math]\dot B_{II}=-\hat {Z}_{35}\left(\dot S_{5}\right)+\hat {Z}_{34}\left(\dot S_{4}+\dot S_{2}\right)=-(7-j26)(40+j25)+(5-j19)((-20-j10)+35+j15)=-760+j605[/math].

Решив данную систему уравнений относительно [math]\dot S_{I}[/math] и [math]\dot S_{II}[/math], получаем следующие значения:

Рисунок 5 — Результат потокораспределения в исследуемой сети

[math]\dot S_{I}=45,195+j21,835[/math] МВА,

[math]\dot S_{II}=24,095+j14,435[/math] МВА

Мощность, протекающая по хорде (ветви, невходящей в состав дерева) равна соответствующей контурной мощности, поэтому

[math]\dot S_{I}=\dot S_{12}=45,195+j21,835[/math] МВА,

[math]\dot S_{II}=\dot S_{45}=24,095+j14,435[/math] МВА.

Теперь найдем оставшиеся перетоки по ветвям, используя I закон Кирхгофа:

[math]\dot S_{24}=\dot S_{12}-\dot S_{2}=45,195+j21,835-(35+j15)=10,195+j6,835[/math] МВА,

[math]\dot S_{43}=\dot S_{24}-\dot S_{4}-\dot S_{45}=10,195+j6,835-(-20-j10)-(24,095+j14,435)=6,100+j2,400[/math] МВА,

[math]\dot S_{35}=\dot S_{5}-\dot S_{45}=40+j25-(24,095+j14,435)=15,905+j10,565[/math] МВА,

[math]\dot S_{13}=\dot S_{3}+\dot S_{35}-\dot S_{43}=25+j10+15,905+j10,565-(6,100+j2,400)=34,805+j18,165[/math] МВА.

Рисунок 6 — Результат потокораспределения из ПК RastrWin

Проверка. Получившиеся значения перетоков по ветвям, исходящим из базы, должны равняться сумме мощностей узлов нагрузок.

[math]\dot S_{13}+\dot S_{12}=34,805+j18,165+45,195+j21,835=80+j40[/math] МВА,

[math]\dot S_{2}+\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}=35+j15+25+j10+(-20-j10)+40+j25=80+j40[/math] МВА.

Файлы для скачивания

Файл:Расчет методом контурных уравнений.rar