Контурные уравнения для расчёта установившегося режима — различия между версиями
Windsl (обсуждение | вклад) (→Пример расчёта потокораспределения в сети методом контурных уравнений) |
Windsl (обсуждение | вклад) м |
||
Строка 194: | Строка 194: | ||
: <math>\dot S_{2}+\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}=35+j15+25+j10+(-20-j10)+40+j25=80+j40</math> МВА. | : <math>\dot S_{2}+\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}=35+j15+25+j10+(-20-j10)+40+j25=80+j40</math> МВА. | ||
− | [[Категория: | + | [[Категория:Установившиеся режимы]] |
Версия 19:11, 26 марта 2019
Метод контурных уравнений предназначен для расчёта параметров установившихся режимов сложнозамкнутых электрических сетей. Суть метода заключается в составлении и решении системы контурных уравнений и определении на их основе параметров режима. Система контурных уравнений может быть записана в форме токов или мощностей. Число независимых контурных уравнений соответствует числу независимых контуров схемы. Составление контурных уравнений опирается на использование I и II законов Кирхгофа.
Вывод уравнений в случае задания нагрузок токами
Рассмотрим вывод уравнений на примере схемы электрической сети, представленной на рисунке 1.
Запишем I закон Кирхгофа для всех узлов:
- узел 2: [math] - \dot I_{12} + \dot I_2 + \dot I_{24} = 0 [/math] (1)
- узел 3: [math] - \dot I_{13} + \dot I_3 + \dot I_{34} + \dot I_{35} = 0 [/math] (2)
- узел 4: [math] - \dot I_{34} - \dot I_{24} + \dot I_{4} + \dot I_{45} = 0 [/math] (3)
- узел 5: [math] - \dot I_{35} - \dot I_{45} + \dot I_{5} = 0 [/math] (4)
для первого узла не имеет смысла записывать I закон Кирхгофа, так как первый узел является балансирующим.
Обозначим остовное дерево графа сети и направление контурных токов, как показано на рисунке 2.
На рисунке 2 жирными линиями обозначено остовное дерево графа сети, тонкими линиями хорды. Для удобства составления контурных уравнений рекомендуется выбирать остовное дерево так, чтобы между контурами были только рёбра графа, входящие в остовное дерево. Другими словами хорды графа должны быть с краёв графа сети. В приведённом примере графа сети не рекомендуется брать в качестве хорды ветвь 3-4, так как это приведёт к тому, что один из двух контуров будет вложен в другой. В свою очередь это увеличит количество слагаемых в контурных уравнений.
Значения контурных токов равны значениям токов ветвей, не входящих в состав дерева, поэтому:
- [math]\dot I_{I} = \dot I_{24} [/math] (5), и [math]\dot I_{II} = \dot I_{45} [/math]. (6)
Для удобства будем называть токи [math]\dot I_{2}, \dot I_{3}, \dot I_{4}, \dot I_{5}[/math] - узловые токи,
- а [math]\dot I_{12}, \dot I_{13}, \dot I_{24}, \dot I_{34}, \dot I_{35}, \dot I_{45}[/math] - межузловые токи.
Далее, необходимо выразить все межузловые токи через контурные или узловые токи, не забывая про соотношения (5) и (6). Отсюда получаем:
- [math]\dot I_{12} = \dot I_{I}+\dot I_{2} [/math], (7)
- [math]\dot I_{13} = \dot I_{3}+\dot I_{35}+\dot I_{34} [/math], (8)
- [math]\dot I_{35} = \dot I_{5}-\dot I_{II} [/math], (9)
- [math]\dot I_{34} = \dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I} [/math], (10)
Подставляем выражения (9) и (10) в (8), получаем:
- [math]\dot I_{13} = \dot I_{3}+\dot I_{4}+\dot I_{5}-\dot I_{I} [/math], (11)
Запишем II закон Кирхгофа для двух контуров в виде системы:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \dot U_{12}+\dot U_{24}-\dot U_{34}-\dot U_{13}=0 \\ \dot U_{34}+\dot U_{45}-\dot U_{35}=0 \end{cases}. [/math] (12)
Воспользуемся законом Ома, согласно которому [math]\dot U_{ij}=\dot I_{ij} \cdot \underline Z_{ij} [/math] (13)
Запишем систему уравнений (12), используя соотношение (13):
- [math]\displaystyle \begin{cases} \dot I_{12} \underline Z_{12} + \dot I_{24} \underline Z_{24} - \dot I_{34}\underline Z_{34} - \dot I_{13}\underline Z_{13} = 0 \\ \dot I_{34} \underline Z_{34} + \dot I_{45} \underline Z_{45} - \dot I_{35}\underline Z_{35} = 0 \end{cases}. [/math] (14)
Теперь, используя соотношения (7)-(11), то есть, записывая межузловые токи через контурные или узловые токи, запишем новую систему уравнений:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \left(\dot I_{I}+\dot I_{2}\right)\underline Z_{12}+\dot I_{I}\underline Z_{24}-\left(\dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{34}-\left(\dot I_{3}+\dot I_{4}+\dot I_{5}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{13}=0 \\ \left(\dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{34}+\dot I_{II}\underline Z_{45}-\left(\dot I_{5}-\dot I_{II}\right)\underline Z_{35}=0 \end{cases}. [/math] (15)
Сгруппировав относительно [math]\dot I_{I}[/math] и [math]\dot I_{II}[/math], получаем систему контурных уравнений в форме баланса токов:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \dot I_{I}\left(\underline Z_{12}+\underline Z_{24}+\underline Z_{34}+\underline Z_{13}\right)+\dot I_{II}\left(-\underline Z_{34}\right)+\left[\dot I_{2}\underline Z_{12}-\dot I_{4}\left(\underline Z_{34}+\underline Z_{13}\right)-\dot I_{3}\underline Z_{13}-\dot I_{5}\underline Z_{13}\right]=0 (16.1)\\ \dot I_{I}\left(-\underline Z_{34}\right)+\dot I_{II}\left(\underline Z_{34}+\underline Z_{45}+\underline Z_{35}\right)+\left[\dot I_{4}\underline Z_{34}-\dot I_{5}\underline Z_{35}\right]=0 (16.2) \end{cases}. [/math] (16) форма баланса токов.
Пояснение к вышеобозначенной системе (16).
- Множитель тока [math]\dot I_{I}[/math] в первом уравнении (16.1) является собственным сопротивлением первого контура, включает в себя сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Обозначается [math]\underline Z_{I,I}[/math].
- Множитель тока [math]\dot I_{II}[/math] в первом уравнении (16.1) является взаимным сопротивлением первого и второго контуров с учетом знака[*]. Обозначается [math]\underline Z_{I,II}[/math] .
- Множитель тока [math]\dot I_{I}[/math] во втором уравнении (16.2) является взаимным сопротивлением первого и второго контуров с учетом знака[*]. Обозначается [math]\underline Z_{II,I}[/math].
- Множитель тока [math]\dot I_{II}[/math] во втором уравнении (16.2) является собственным сопротивлением второго контура, включает в себя сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Обозначается [math]\underline Z_{II,II}[/math].
- Оставшиеся составляющие уравнений носят название Свободных составляющих. В системе (16) заключены в квадратные скобки. Обозначаются [math]A_{I}[/math] и [math]A_{II}[/math], соответственно.
- [*] - знак "+" выбирается, если контурные токи, протекающие по взаимному сопротивлению, сонаправлены, другими словами, "шестеренки" прокручиваются;
- знак "-" выбирается, если контурные токи, протекающие по взаимному сопротивлению, противонаправлены, другими словами, "шестеренки" застопорены.
Исходя из вышесказанного, систему (16) можно представить в более наглядном виде:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \dot I_{I}\underline Z_{I,I}+\dot I_{II}\underline Z_{I,II}+A_{I}=0 \\ \dot I_{I}\underline Z_{II,I}+\dot I_{II}\underline Z_{II,II}+A_{II}=0 \end{cases}. [/math] (17) общий вид формы баланса токов.
Контурные уравнения в форме баланса мощностей
Представим токи через соответствующие мощность и напряжение:
- [math]\displaystyle \dot I_{i}=\frac{\hat S_{i}}{\hat U_{i}\sqrt{3}}[/math] (18)
Подставим выражение (18) в систему (17), переобозначим свободную составляющую как [math] B_{I}[/math] и [math] B_{II}[/math]:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \frac {\hat S_{I}}{\hat U}\underline Z_{I,I}+\frac {\hat S_{II}}{\hat U}\underline Z_{I,II}+\frac {\hat B_{I}}{\hat U}=0 \\ \frac {\hat S_{I}}{\hat U}\underline Z_{II,I}+\frac {\hat S_{II}}{\hat U}\underline Z_{II,II}+\frac {\hat B_{II}}{\hat U}=0 \end{cases}. [/math] (19)
Домножим каждое уравнение системы (19) на [math]\hat U[/math], получим:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \hat S_{I}\underline Z_{I,I}+\hat S_{II}\underline Z_{I,II}+\hat B_{I}=0 \\ \hat S_{I}\underline Z_{II,I}+\hat S_{II}\underline Z_{II,II}+\hat B_{II}=0 \end{cases}. [/math] (20)
Взяв сопряжение от каждого уравнения системы (20), мы получаем систему контурных уравнений в форме баланса мощностей:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \dot S_{I}\underline {\hat {Z}}_{I,I}+\dot S_{II}\underline {\hat {Z}}_{I,II}+\dot B_{I}=0 \\ \dot S_{I}\underline {\hat {Z}}_{II,I}+\dot S_{II}\underline {\hat {Z}}_{II,II}+\dot B_{II}=0 \end{cases}. [/math] (21) форма баланса мощностей.
Пример расчёта потокораспределения в сети методом контурных уравнений
Для сети (рис. 3) расчитать потокораспределение без учёта потерь мощности методом контурных уравнений.
Исходные данные:
- [math]\dot S_{2}=35+j15[/math] МВА,
- [math]\dot S_{3}=25+j10[/math] МВА,
- [math]\dot S_{4}=-20-j10[/math] МВА,
- [math]\dot S_{5}=40+j25[/math] МВА,
- [math]\underline Z_{12}=5+j17[/math] Ом,
- [math]\underline Z_{24}=4+j16[/math] Ом,
- [math]\underline Z_{34}=5+j19[/math] Ом,
- [math]\underline Z_{13}=8+j30[/math] Ом,
- [math]\underline Z_{35}=7+j26[/math] Ом,
- [math]\underline Z_{45}=6+j22[/math] Ом.
Запишем систему следующего вида:
- [math]\displaystyle \begin{cases} \dot S_{I}\underline {\hat {Z}}_{I,I}+\dot S_{II}\underline {\hat {Z}}_{I,II}=-\dot B_{I} \\ \dot S_{I}\underline {\hat {Z}}_{II,I}+\dot S_{II}\underline {\hat {Z}}_{II,II}=-\dot B_{II} \end{cases}[/math], где
- [math]\underline Z_{I,I}=\underline Z_{12}+\underline Z_{24}+\underline Z_{34}+\underline Z_{13}=(5+j17)+(4+j16)+(5+j19)+(8+j30)=22+j82 [/math] Ом,
- [math]\underline Z_{II,II}=\underline Z_{34}+\underline Z_{45}+\underline Z_{35}=(5+j19)+(6+j22)+(7+j26)=18+j67[/math] Ом,
- [math]\underline Z_{I,II}=\underline Z_{II,I}=-\underline Z_{34}=-5-j19[/math] Ом,
- [math]\dot B_{I}=-\underline {\hat {Z}}_{13}\left(\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}+\dot S_{2}\right)-\underline {\hat {Z}}_{34}\left(\dot S_{4}+\dot S_{2}\right)-\underline {\hat {Z}}_{24}\left(\dot S_{2}\right)=-(8-j30)(25+j10+(-20-j10)+40+j25+35+j15)-(5-j19)((-20-j10)+35+j15)-(4-j16)(35+j15)=-2390+j2840[/math],
- [math]\dot B_{II}=-\underline {\hat {Z}}_{35}\left(\dot S_{5}\right)+\underline {\hat {Z}}_{34}\left(\dot S_{4}+\dot S_{2}\right)=-(7-j26)(40+j25)+(5-j19)((-20-j10)+35+j15)=-760+j605[/math].
Решив данную систему уравнений относительно [math]\dot S_{I}[/math] и [math]\dot S_{II}[/math], получаем следующие значения:
- [math]\dot S_{I}=45,195+j21,835[/math] МВА,
- [math]\dot S_{II}=24,095+j14,435[/math] МВА
Мощность, протекающая по хорде (ветви, невходящей в состав дерева) равна соответствующей контурной мощности, поэтому
- [math]\dot S_{I}=\dot S_{12}=45,195+j21,835[/math] МВА,
- [math]\dot S_{II}=\dot S_{45}=24,095+j14,435[/math] МВА.
Теперь найдем оставшиеся перетоки по ветвям, используя I закон Кирхгофа:
- [math]\dot S_{24}=\dot S_{12}-\dot S_{2}=45,195+j21,835-(35+j15)=10,195+j6,835[/math] МВА,
- [math]\dot S_{43}=\dot S_{24}-\dot S_{4}-\dot S_{45}=10,195+j6,835-(-20-j10)-(24,095+j14,435)=6,100+j2,400[/math] МВА,
- [math]\dot S_{35}=\dot S_{5}-\dot S_{45}=40+j25-(24,095+j14,435)=15,905+j10,565[/math] МВА,
- [math]\dot S_{13}=\dot S_{3}+\dot S_{35}-\dot S_{43}=25+j10+15,905+j10,565-(6,100+j2,400)=34,805+j18,165[/math] МВА.
Проверка. Получившиеся значения перетоков по ветвям, исходящим из базы, должны равняться сумме мощностей узлов нагрузок.
- [math]\dot S_{13}+\dot S_{12}=34,805+j18,165+45,195+j21,835=80+j40[/math] МВА,
- [math]\dot S_{2}+\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}=35+j15+25+j10+(-20-j10)+40+j25=80+j40[/math] МВА.