Просмотр исходного текста страницы Контурные уравнения для расчёта установившегося режима

Метод контурных уравнений предназначен для расчёта параметров [[Установившийся режим|установившихся режимов]] сложнозамкнутых [[Электрическая сеть|электрических сетей]]. Суть метода заключается в составлении и решении системы контурных уравнений и определении на их основе параметров режима. Система контурных уравнений может быть записана в форме токов или мощностей. Число независимых контурных уравнений соответствует числу независимых контуров схемы. Составление контурных уравнений опирается на использование [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%B8%D1%80%D1%85%D0%B3%D0%BE%D1%84%D0%B0 I и II законов Кирхгофа].

== Вывод уравнений в случае задания нагрузок токами ==
Рассмотрим вывод уравнений на примере схемы электрической сети, представленной на рисунке 1.

[[Файл:Рисунок_1._Схема_электрической_сети.png|мини|500px|Рисунок 1 — Пример схемы электрической сети для вывода контурных уравнений]]

Запишем I закон Кирхгофа для всех узлов:

: узел 2: <math> - \dot I_{12} + \dot I_2 + \dot I_{24} = 0 </math> (1)

: узел 3: <math> - \dot I_{13} + \dot I_3 + \dot I_{34} + \dot I_{35} = 0 </math> (2)

: узел 4: <math> - \dot I_{34} - \dot I_{24} + \dot I_{4} + \dot I_{45} = 0 </math> (3)

: узел 5: <math> - \dot I_{35} - \dot I_{45} + \dot I_{5} = 0 </math> (4)

для первого узла не имеет смысла записывать I закон Кирхгофа, так как первый узел является [[Балансирующий узел|балансирующим]].

Обозначим [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%BE%D0%B2) остовное дерево] графа сети и направление контурных токов, как показано на рисунке 2.

[[Файл:Рисунок_2._Схема_электрической_сети.png|мини|500px|Рисунок 2 — Пример выбора остовного дерева графа электрической сети]]

На рисунке 2 жирными линиями обозначено остовное дерево графа сети, тонкими линиями хорды.

 '''Правило составления контура:'''
 В контур могут входить только ветви из остовного дерева и только одна хорда. 

Для удобства составления контурных уравнений рекомендуется выбирать остовное дерево так, чтобы между контурами были только рёбра графа, входящие в остовное дерево. Другими словами хорды графа должны быть с краёв графа сети. В приведённом примере графа сети не рекомендуется брать в качестве хорды ветвь 3-4, так как это приведёт к тому, что один из двух контуров будет вложен в другой. В свою очередь это увеличит количество слагаемых в контурных уравнений.

Значения контурных токов равны значениям токов ветвей, не входящих в состав дерева, поэтому:
:: <math>\dot I_{I} = \dot I_{24} </math> (5), и <math>\dot I_{II} = \dot I_{45} </math>. (6)

Для удобства будем называть токи <math>\dot I_{2}, \dot I_{3}, \dot I_{4}, \dot I_{5}</math> — узловые токи,

: а <math>\dot I_{12}, \dot I_{13}, \dot I_{24}, \dot I_{34}, \dot I_{35}, \dot I_{45}</math> — межузловые токи.

Далее, необходимо выразить все межузловые токи через контурные или узловые токи, не забывая про соотношения (5) и (6). Отсюда получаем:

: <math>\dot I_{12} = \dot I_{I}+\dot I_{2} </math>, (7)

: <math>\dot I_{13} = \dot I_{3}+\dot I_{35}+\dot I_{34} </math>, (8)

: <math>\dot I_{35} = \dot I_{5}-\dot I_{II} </math>, (9)

: <math>\dot I_{34} = \dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I} </math>, (10)

Подставляем выражения (9) и (10) в (8), получаем:

: <math>\dot I_{13} = \dot I_{3}+\dot I_{4}+\dot I_{5}-\dot I_{I} </math>, (11)

Запишем II закон Кирхгофа для двух контуров в виде системы:

: <math>\displaystyle \begin{cases}
\dot U_{12}+\dot U_{24}-\dot U_{34}-\dot U_{13}=0 \\
\dot U_{34}+\dot U_{45}-\dot U_{35}=0
\end{cases}. </math> (12)

Воспользуемся законом Ома, согласно которому <math>\dot U_{ij}=\dot I_{ij} \cdot \underline Z_{ij} </math> (13)

Запишем систему уравнений (12), используя соотношение (13):

: <math>\displaystyle \begin{cases}
\dot I_{12} \underline Z_{12} + \dot I_{24} \underline Z_{24} - \dot I_{34}\underline Z_{34} - \dot I_{13}\underline Z_{13} = 0 \\
\dot I_{34} \underline Z_{34} + \dot I_{45} \underline Z_{45} - \dot I_{35}\underline Z_{35} = 0
\end{cases}. </math> (14)

Теперь, используя соотношения (7)-(11), то есть, записывая межузловые токи через контурные или узловые токи, запишем новую систему уравнений:

: <math>\displaystyle \begin{cases}
\left(\dot I_{I}+\dot I_{2}\right)\underline Z_{12}+\dot I_{I}\underline Z_{24}-\left(\dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{34}-\left(\dot I_{3}+\dot I_{4}+\dot I_{5}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{13}=0 \\
\left(\dot I_{4}+\dot I_{II}-\dot I_{I}\right)\underline Z_{34}+\dot I_{II}\underline Z_{45}-\left(\dot I_{5}-\dot I_{II}\right)\underline Z_{35}=0
\end{cases}. </math> (15)

Сгруппировав относительно <math>\dot I_{I}</math> и <math>\dot I_{II}</math>, получаем систему контурных уравнений в форме баланса токов:

: <math>\displaystyle \begin{cases}
\dot I_{I}\left(\underline Z_{12}+\underline Z_{24}+\underline Z_{34}+\underline Z_{13}\right)+\dot I_{II}\left(-\underline Z_{34}\right)+\left[\dot I_{2}\underline Z_{12}-\dot I_{4}\left(\underline Z_{34}+\underline Z_{13}\right)-\dot I_{3}\underline Z_{13}-\dot I_{5}\underline Z_{13}\right]=0 (16.1)\\
\dot I_{I}\left(-\underline Z_{34}\right)+\dot I_{II}\left(\underline Z_{34}+\underline Z_{45}+\underline Z_{35}\right)+\left[\dot I_{4}\underline Z_{34}-\dot I_{5}\underline Z_{35}\right]=0 (16.2)
\end{cases}. </math> (16) '''форма баланса токов'''.

Пояснение к вышеобозначенной системе (16).
: Множитель тока <math>\dot I_{I}</math> в первом уравнении (16.1) является собственным сопротивлением первого контура, включает в себя сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Обозначается <math>\underline Z_{I,I}</math>.
: Множитель тока <math>\dot I_{II}</math> в первом уравнении (16.1) является взаимным сопротивлением первого и второго контуров с учетом знака[*]. Обозначается <math>\underline Z_{I,II}</math> .
: Множитель тока <math>\dot I_{I}</math> во втором уравнении (16.2) является взаимным сопротивлением первого и второго контуров с учетом знака[*]. Обозначается <math>\underline Z_{II,I}</math>.
: Множитель тока <math>\dot I_{II}</math> во втором уравнении (16.2) является собственным сопротивлением второго контура, включает в себя сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур. Обозначается <math>\underline Z_{II,II}</math>.
: Оставшиеся составляющие уравнений носят название Свободных составляющих. В системе (16) заключены в квадратные скобки. Обозначаются <math>A_{I}</math> и <math>A_{II}</math>, соответственно.
:: [*] — знак «+» выбирается, если контурные токи, протекающие по взаимному сопротивлению, сонаправлены, другими словами, «шестеренки» прокручиваются;
:: знак «-» выбирается, если контурные токи, протекающие по взаимному сопротивлению, противонаправлены, другими словами, «шестеренки» застопорены.

Исходя из вышесказанного, систему (16) можно представить в более наглядном виде:

: <math>\displaystyle \begin{cases}
\dot I_{I}\underline Z_{I,I}+\dot I_{II}\underline Z_{I,II}+A_{I}=0 \\
\dot I_{I}\underline Z_{II,I}+\dot I_{II}\underline Z_{II,II}+A_{II}=0
\end{cases}. </math> (17) '''общий вид формы баланса токов'''.

==Контурные уравнения в форме баланса мощностей==

Представим токи через соответствующие мощность и напряжение:

:<math>\displaystyle \dot I_{i}=\frac{\hat S_{i}}{\hat U_{i}\sqrt{3}}</math> (18)

Подставим выражение (18) в систему (17), переобозначим свободную составляющую как <math> B_{I}</math> и <math> B_{II}</math>:

:<math>\displaystyle \begin{cases}
\frac {\hat S_{I}}{\hat U}\underline Z_{I,I}+\frac {\hat S_{II}}{\hat U}\underline Z_{I,II}+\frac {\hat B_{I}}{\hat U}=0 \\
\frac {\hat S_{I}}{\hat U}\underline Z_{II,I}+\frac {\hat S_{II}}{\hat U}\underline Z_{II,II}+\frac {\hat B_{II}}{\hat U}=0
\end{cases}. </math> (19)

Домножим каждое уравнение системы (19) на <math>\hat U</math>, получим:

:<math>\displaystyle \begin{cases}
\hat S_{I}\underline Z_{I,I}+\hat S_{II}\underline Z_{I,II}+\hat B_{I}=0 \\
\hat S_{I}\underline Z_{II,I}+\hat S_{II}\underline Z_{II,II}+\hat B_{II}=0
\end{cases}. </math> (20)

Взяв сопряжение от каждого уравнения системы (20), мы получаем систему контурных уравнений в форме баланса мощностей:

:<math>\displaystyle \begin{cases}
\dot S_{I}\hat {Z}_{I,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{I,II}+\dot B_{I}=0 \\
\dot S_{I}\hat {Z}_{II,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{II,II}+\dot B_{II}=0
\end{cases}. </math> (21) '''форма баланса мощностей'''.

== Пример расчёта потокораспределения в сети методом контурных уравнений ==
Для сети (рис. 3) расчитать потокораспределение без учёта потерь мощности методом контурных уравнений.

[[Файл:Рисунок_3._Схема_исследуемой_сети.png|мини|500px|Рисунок 3 — Схема исследуемой сети]]

Исходные данные:

: <math>\dot S_{2}=35+j15</math> МВА,

: <math>\dot S_{3}=25+j10</math> МВА,

: <math>\dot S_{4}=-20-j10</math> МВА,

: <math>\dot S_{5}=40+j25</math> МВА,

: <math>\underline Z_{12}=5+j17</math> Ом,

: <math>\underline Z_{24}=4+j16</math> Ом,

: <math>\underline Z_{34}=5+j19</math> Ом,

: <math>\underline Z_{13}=8+j30</math> Ом,

: <math>\underline Z_{35}=7+j26</math> Ом,

: <math>\underline Z_{45}=6+j22</math> Ом.

Запишем систему следующего вида:

: <math>\displaystyle \begin{cases}
\dot S_{I}\hat {Z}_{I,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{I,II}=-\dot B_{I} \\
\dot S_{I}\hat {Z}_{II,I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{II,II}=-\dot B_{II}
\end{cases}</math>, где

:: <math>\underline Z_{I,I}=\underline Z_{12}+\underline Z_{24}+\underline Z_{34}+\underline Z_{13}=(5+j17)+(4+j16)+(5+j19)+(8+j30)=22+j82 </math> Ом,

:: <math>\underline Z_{II,II}=\underline Z_{34}+\underline Z_{45}+\underline Z_{35}=(5+j19)+(6+j22)+(7+j26)=18+j67</math> Ом,

:: <math>\underline Z_{I,II}=\underline Z_{II,I}=-\underline Z_{34}=-5-j19</math> Ом.

[[Файл:Рисунок_4._Определение_знаков_перед_сопротивлениями_в_выражении_свободной_составляющей.png|мини|500px|Рисунок 4 — Определение знаков перед сопротивлениями в выражении свободной составляющей]]

Для записи выражений свободных составляющих <math>\dot B_{I}</math> и <math>\dot B_{II}</math> воспользуемся рисунком №4. Данный рисунок, а также все указанные в нем направления стрелок, необходимы исключительно для формирования <math>\dot B_{I}</math> и <math>\dot B_{II}</math>. '''Направление перетока всегда от базового узла. Направление контурных мощностей неизменно.''' Если направление данного перетока совпадает с направлением контурного потока, то сопротивление, по которому протекает данный переток мощности, берется со знаком "+". Если направления не совпадают, то сопротивление берется со знаком "-". В случае однородной сети, вместо сопротивлений можно использовать длины ЛЭП по вышеобозначенному принципу.

:: <math>\dot B_{I}=-\hat {Z}_{13}\left(\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}+\dot S_{2}\right)-\hat {Z}_{34}\left(\dot S_{4}+\dot S_{2}\right)-\hat {Z}_{24}\left(\dot S_{2}\right)=-(8-j30)(25+j10+(-20-j10)+40+j25+35+j15)-(5-j19)((-20-j10)+35+j15)-(4-j16)(35+j15)=-2390+j2840</math>,

:: <math>\dot B_{II}=-\hat {Z}_{35}\left(\dot S_{5}\right)+\hat {Z}_{34}\left(\dot S_{4}+\dot S_{2}\right)=-(7-j26)(40+j25)+(5-j19)((-20-j10)+35+j15)=-760+j605</math>.

Решив данную систему уравнений относительно <math>\dot S_{I}</math> и <math>\dot S_{II}</math>, получаем следующие значения:
[[Файл:Рисунок_4._Результат_потокораспределения.png|мини|500px|Рисунок 5 — Результат потокораспределения в исследуемой сети]]
: <math>\dot S_{I}=45,195+j21,835</math> МВА,

: <math>\dot S_{II}=24,095+j14,435</math> МВА

Мощность, протекающая по хорде (ветви, невходящей в состав дерева) равна соответствующей контурной мощности, поэтому

: <math>\dot S_{I}=\dot S_{12}=45,195+j21,835</math> МВА,

: <math>\dot S_{II}=\dot S_{45}=24,095+j14,435</math> МВА.

Теперь найдем оставшиеся перетоки по ветвям, используя I закон Кирхгофа:

: <math>\dot S_{24}=\dot S_{12}-\dot S_{2}=45,195+j21,835-(35+j15)=10,195+j6,835</math> МВА,

: <math>\dot S_{43}=\dot S_{24}-\dot S_{4}-\dot S_{45}=10,195+j6,835-(-20-j10)-(24,095+j14,435)=6,100+j2,400</math> МВА,

: <math>\dot S_{35}=\dot S_{5}-\dot S_{45}=40+j25-(24,095+j14,435)=15,905+j10,565</math> МВА,

: <math>\dot S_{13}=\dot S_{3}+\dot S_{35}-\dot S_{43}=25+j10+15,905+j10,565-(6,100+j2,400)=34,805+j18,165</math> МВА.

[[Файл:Рисунок_5._Результат_потокораспределения_из_ПК_RastrWin.png|мини|500px|Рисунок 6 — Результат потокораспределения из ПК RastrWin]]

Проверка. Получившиеся значения перетоков по ветвям, исходящим из базы, должны равняться сумме мощностей узлов нагрузок.

: <math>\dot S_{13}+\dot S_{12}=34,805+j18,165+45,195+j21,835=80+j40</math> МВА,

: <math>\dot S_{2}+\dot S_{3}+\dot S_{4}+\dot S_{5}=35+j15+25+j10+(-20-j10)+40+j25=80+j40</math> МВА.

==Файлы для скачивания==
[[Файл:Расчет_методом_контурных_уравнений.rar]]

[[Категория:Установившиеся режимы]]