Уравнения узловых напряжений

Уравнения узловых напряжений - метод расчёта установившегося режима электрической сети на основе системы нелинейных (иногда линейных) алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются уравнения в узлах электрической сети.

Описание

Уравнения баланса токов представляют собой простейшую форму уравнений, описывающих установившиеся режимы. Существуют две модели ЭЭС: линейная и нелинейная. Отличительной особенностью этих моделей является то, что линейная модель предполагает задание комплексных значений токов, в отличие от нелинейной модели ЭЭС, которая, в свою очередь, предполагает задание активной и реактивной мощностей. В практической сфере энергетики задаются активной и реактивной мощностями, поэтому будем использовать нелинейную модель ЭЭС.

Формы записи УУН для сети переменного тока

В прямоугольной системе координат

В данной системе комплексные величины [math]\displaystyle \underline{y}_{ik}, \dot{U_{j}}, \dot{J_{i}}[/math] представляются в виде

[math]\displaystyle \dot{U_{k}}=U_{k}'+jU_{k}''[/math],

[math]\displaystyle \dot{J_{i}}=J_{i}'+jJ_{i}''[/math],

для проводимости справедливо следующее:

[math]\displaystyle \underline{y}=\frac{1}{\underline{z}}=\frac{1}{r+jx}=\frac{r-jx}{(r+jx)(r-jx)}=\frac{r-jx}{r^2+x^2}=\frac{r}{r^2+x^2}-j\frac{x}{r^2+x^2}=\frac{r}{|\underline{z}|^2}-j\frac{x}{|\underline{z}|^2} \Rightarrow g=\frac{r}{|\underline{z}|^2}; b=\frac{x}{|\underline{z}|^2}[/math]

получаем, что [math]\displaystyle \underline{y}=g-jb[/math], [math]\displaystyle [/math] но для удобства расчёта матрицы проводимостей будем использовать соотношение [math]\underline{y}=g+jb[/math], тогда

[math]\displaystyle \underline{y}_{ik}=g_{ik}+jb_{ik}[/math]; [math]\underline{y}_{ii}=g_{ii}+jb_{ii};[/math]

[math]\displaystyle g_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Ng_{ik}[/math]; [math]b_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Nb_{ik}[/math]

Методы решения

Основные методы решения системы уравнений узловых напряжений:

1. Метод Гаусса-Зейделя - это один из самых первых разработанных методов. Обычно показывает более медленную сходимость по сравнению с другими итерационными методами. Основным преимуществом является малое использование памяти и не требуется матричная алгебра.
2. Метод Якоби.
3. Метод Z-матриц.
4. Метод Ньютона-Рафсона - один из самых популярных методов решения, основанный на разложении в ряд Тейлора.
5. Метод голоморфного встраивания - прямой метод расчёта на основе комплексного анализа.

Литература

1. Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах / Б. И. Аюев [и др.] ; под ред. П. И. Бартоломея. - Москва : Флинта : Наука, 2008. - 254, [1] с. : ил., табл.; 22 см.; ISBN 978-5-9765-0697-8.
2. Powell L. Power System Load Flow Analysis. McGraw Hill Professional. - 2004.
3. Wang, Xi-Fan, Song, Y.H., Irving, M. Modern power systems analysis, Springer Science, New York, 2008.