Уравнения узловых напряжений

Уравнения узловых напряжений (УУН) — метод расчёта установившегося режима электрической сети на основе системы нелинейных (иногда линейных) алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются уравнения в узлах электрической сети.

Описание

Уравнения баланса токов представляют собой простейшую форму уравнений, описывающих установившиеся режимы. Существуют две математические модели уравнений узловых напряжений:

• линейная;
• нелинейная.

Отличительной особенностью этих моделей является то, что линейная модель предполагает задание комплексных значений токов, в отличие от нелинейной модели, которая предполагает задание активной и реактивной мощностей. В практической сфере, в расчётах нагрузки задаются активной и реактивной мощностями, поэтому обычно используется нелинейная модель.

Вывод уравнений узловых напряжений

Для формирования УУН рассмотрим представленную на рис. 1 часть схемы замещения:

Первый закон Кирхгофа для к-го узла:

[math]\displaystyle \dot{J_k}+\dot{J}_{k(sh)}+\sum_{m∈k}\dot{J}_{km(sh)}+\sum_{m∈k}\dot{J}_{km}=0, (1.1)[/math]

где [math]m∈k[/math] означает, что любой узел [math]m[/math] связан с узлом [math]k[/math];

[math]\displaystyle \dot{J_k}[/math] — ток нагрузки в узле [math]k[/math];

[math]\displaystyle \dot{J}_{k(sh)}[/math] — ток шунта, подключенного к узлу [math]k[/math];

[math]\displaystyle \dot{J}_{km(sh)}[/math] — ток, протекающий через поперечные проводимости ЛЭП или трансформатора [math]km[/math], подсоединенные к узлу [math]k[/math];

[math]\displaystyle \dot{J}_{km}[/math] — ток продольной ветви [math]km[/math] ЛЭП или трансформатора от узла [math]k[/math].

• ветвь, моделирующая шунтовые проводимости:

[math]\displaystyle \dot{J}_{k(sh)}=\dot{U_k}\underline{Y}_{km(sh)},[/math]

• ветвь, не содержащая трансформаторов:

[math]\displaystyle \dot{J}_{km}=\frac{\dot{U_k}-\dot{U_m}}{\underline{Z}_{km}},[/math]

• трансформаторная ветвь [math]k2[/math], сопротивление [math]\underline{Z}_{k2}[/math] которой приведено к узлу [math]k[/math]:

[math]\displaystyle \dot{J}_{k2}=\frac{\dot{U_k}-\frac{\dot{U_2}}{\dot{k}_{k2}}}{\underline{Z}_{k2}},[/math]

• трансформаторная ветвь [math]k1[/math], сопротивление [math]\underline{Z}_{k1}[/math] которой приведено к смежному узлу [math]1[/math]:

[math]\displaystyle \dot{J}_{k1}=\frac{1}{\hat{k}_{k1}}\frac{\frac{\dot{U_k}}{\dot{k}_{k1}}-\dot{U_1}}{\underline{Z}_{k1}}.[/math]

Наличие знака сопряжения в этом выражении обусловлено тем, что для идеального двухобмоточного трансформатора выполняется закон сохранения мощности [math]\dot{S_н}=\dot{S_в}=\hat{I_н}\dot{U_н}=\hat{I_в}\dot{U_в}[/math], где индексами «Н» и «В» обозначены соответственно низшая и высшая обмотки трансформатора, поэтому, если [math]\dot{U_в}=\dot{U_н}\dot{K_{вн}}[/math], то из закона сохранения следует:

[math]\displaystyle \dot{I_в}=\dot{I_н}\frac{\hat{U_н}}{\hat{U_в}}=\frac{\dot{I_н}}{\hat{k}_{вн}}.[/math]

Подстановка полученных выражений в уравнение (1.1) с приведением подобных членов позволяет получить уравнение для k-го узла в виде:

[math]\displaystyle \underline{y}_{ii}\dot{U_i}+\sum_{m∈k}\underline{y}_{ik}\dot{U_k}=\dot{I_k}[/math].

В прямоугольной системе координат

В данной системе комплексные величины [math]\displaystyle \underline{y}_{ik}, \dot{U_{j}}, \dot{J_{i}}[/math] представляются в виде

[math]\displaystyle \dot{U_{k}}=U_{k}'+jU_{k}'',[/math] (1)

[math]\displaystyle \dot{J_{i}}=J_{i}'+jJ_{i}'',[/math] (2)

для проводимости справедливо следующее:

[math]\displaystyle \underline{y}=\frac{1}{\underline{z}}=\frac{1}{r+jx}=\frac{r-jx}{(r+jx)(r-jx)}=\frac{r-jx}{r^2+x^2}=\frac{r}{r^2+x^2}-j\frac{x}{r^2+x^2}=\frac{r}{|\underline{z}|^2}-j\frac{x}{|\underline{z}|^2} \Rightarrow g=\frac{r}{|\underline{z}|^2}; b=\frac{x}{|\underline{z}|^2},[/math]

получаем, что [math]\displaystyle \underline{y}=g-jb,[/math]

но для удобства расчета матрицы проводимостей будем использовать соотношение

[math]\displaystyle\underline{y}=g+jb[/math] (3), тогда

[math]\displaystyle \underline{y}_{ik}=g_{ik}+jb_{ik};[/math] [math]\underline{y}_{ii}=g_{ii}+jb_{ii};[/math]

[math]\displaystyle g_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Ng_{ik};[/math] [math]b_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Nb_{ik}.[/math]

Запишем УУН для линейной ЭЭС:

[math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\dot{J}_{i}-\underline{Y}_{iб}\dot{U}_{б}, i=1..N\end{cases}, [/math] (4)

левая часть данной системы характеризует токи, втекающие в k-й узел, правая часть — токи, вытекающие из того же узла, но с учетом влияния токов базы.

Подставляем (1), (2), (3) в (4), [math]\dot{U}_б[/math] представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее:

[math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(g_{iб}+jb_{iб}\right)\left(U_{б}'+jU_{б}''\right), i=1..N\end{cases}.[/math]

Сгруппируем и приведем подобные:

[math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)+j\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right)+j\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right)\right), i=1..N\end{cases}[/math](5).

Сгруппируем относительно [math]j[/math] левую и правую части системы (5). Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые составляющие. Распишем в новой системе отдельно действительные и мнимые части. Получаем:

[math]\displaystyle \begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right) \\ \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right) \end{cases}, i=1..N.[/math] (6)

Представим данную систему (6) в матричной форме:

[math]\displaystyle \begin{pmatrix} \bar{\bar{G}} & -\bar{\bar{B}} \\ \bar{\bar{B}} & \bar{\bar{G}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{U'} \\ \bar{U''} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bar{J'} \\ \bar{J''} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} \bar{G_б} & -\bar{B_б} \\ \bar{B_б} & \bar{G_б} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{U_б'} \\ \bar{U_б''} \end{pmatrix}. [/math] (7)

В случае, если [math]\dot{U}_б=U_б+j0,[/math] система (6) преобразуется к виду:

[math]\displaystyle \begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-g_{iб}U_б, i=1..N\\ \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-b_{iб}U_б, i=1..N \end{cases}.[/math] (8)

Соответственно упрощается матричная форма записи системы (8):

[math]\displaystyle \begin{pmatrix} \bar{\bar{G}} & -\bar{\bar{B}} \\ \bar{\bar{B}} & \bar{\bar{G}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{U'} \\ \bar{U''} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bar{J'} \\ \bar{J''} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} \bar{G_б} \\ \bar{B_б} \end{pmatrix} U_б .[/math] (9)

Вернемся к нелинейной модели ЭЭС. Для этого перенесем составляющую токов базы системы (4) в левую часть, изменив при этом диапазон [math]i=1..(N-1)[/math]. Получаем:

[math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\dot{J}_{i}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math] (10)

Как известно,

[math]\displaystyle \dot{S}=\dot{U}\hat{J}[/math], отсюда [math]\hat{J}=\frac{\dot{S}}{\dot{U}}[/math] или [math]\dot{J}=\frac{\hat{S}}{\hat{U}}.[/math] (11)

Добавим, что [math]\dot{S}=P+jQ.[/math] (12)

Подставляем (11) в выражение (10), получаем следующее:

[math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\frac{\hat{S}_i}{\hat{U}_i}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math] (13)

Подставляем (1), (3), (12) в (13), получаем:

[math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=\frac{P_i-jQ_i}{U_i'-jU_i''}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math]

Раскрываем скобки, домножаем правую часть на сопряженное и группируем относительно [math]j[/math]:

[math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''+j\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''+j\left(P_iU_i''-Q_iU_i'\right)}{U_i'^2+U_i''^2}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math]

Вынесем [math]j[/math] за знак суммы в левой части, а в правой части разобьем дробное выражение на две составляющие относительно [math]j[/math], получим:

[math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)+j\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''}{U_i'^2+U_i''^2}+j\frac{P_iU_i''-Q_iU_i'}{U_i'^2+U_i''^2}, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math] (14)

Преобразуем систему (14) к виду, аналогичному системе (8), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса токов:

[math]\displaystyle \begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=\frac{P_iU_i'+Q_iU_i''}{U_i'^2+U_i''^2} \\ \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=\frac{P_iU_i''-Q_iU_i'}{U_i'^2+U_i''^2} \end{cases}, i=1..(N-1)[/math] (15) форма баланса токов.

Выведем систему нелинейных УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей. Для этого домножим систему (13) на [math]\hat{U}[/math], получаем:

[math]\displaystyle \begin{cases}\hat{U}_i\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\hat{S}_i, i=1..(N-1)\end{cases}.[/math] (16)

Подставляем (1), (3), (12) в (16):

[math]\displaystyle \begin{cases}\left(U_i'-jU_i''\right)\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]

Вносим сопряженный комплекс напряжения под знак суммы и группируем относительно [math]j[/math], имеем:

[math]\displaystyle \begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(\left(g_{ik}U_k'U_i'-b_{ik}U_k''U_i'+g_{ik}U_k''U_i''+b_{ik}U_k'U_i''\right)+j\left(g_{ik}U_k''U_i'+b_{ik}U_k'U_i'-g_{ik}U_k'U_i''+b_{ik}U_k''U_i''\right)\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math] (17)

Преобразуем систему (17) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей:

[math]\displaystyle \begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}\left(U_k'U_i'+U_k''U_i''\right)-b_{ik}\left(U_k''U_i'-U_k'U_i''\right)\right)=P_i \\ \sum_{k=1}^{N}\left(b_{ik}\left(U_k'U_i'+U_k''U_i''\right)+g_{ik}\left(U_k''U_i'-U_k'U_i''\right)\right)=-Q_i \end{cases}, i=1..(N-1)[/math] (18) форма баланса мощностей.

В полярной системе координат

Как известно, комплексное число можно представить в алгебраической, показательной и тригонометрической формах:

[math]\displaystyle \dot{U_k}=U_k'+jU_k''=V_ke^{jδ_k}=V_k\left(cos(δ_k)+jsin(δ_k)\right).[/math]

Для того, чтобы вывести УУН в форме баланса мощностей в полярной системе координат, необходимо в систему (16) подставить показательную запись комплексного числа [math]\dot{U_k}[/math]. Выполнив это, получим:

[math]\displaystyle \begin{cases} V_ie^{-jδ_i}\sum_{k=1}^{N}(g_{ik}+jb_{ik})V_ke^{jδ_k}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]

Переносим экспоненты в одну сторону:

[math]\displaystyle \begin{cases} V_i\sum_{k=1}^{N}V_k(g_{ik}+jb_{ik})e^{jδ_k}e^{-jδ_i}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]

Используя свойство степеней, выполним преобразования:

[math]\displaystyle \begin{cases} V_i\sum_{k=1}^{N}V_k(g_{ik}+jb_{ik})e^{j(δ_k-δ_i)}=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]

Переходим к тригонометрической форме:

[math]\displaystyle \begin{cases} V_i\sum_{k=1}^{N}V_k(g_{ik}+jb_{ik})(cos(δ_k-δ_i)+jsin(δ_k-δ_i))=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math]

Группируем относительно [math]j[/math]:

[math]\displaystyle \begin{cases} V_i\sum_{k=1}^{N}V_k\left((g_{ik}cos(δ_k-δ_i)-b_{ik}sin(δ_k-δ_i))+j\left(g_{ik}sin(δ_k-δ_i)+b_{ik}cos(δ_k-δ_i)\right)\right)=P_i-jQ_i\end{cases}, i=1..(N-1).[/math] (19)

Преобразуем систему (19) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в полярных координатах в форме баланса мощностей:

[math]\displaystyle \begin{cases} V_i\sum_{k=1}^{N}V_k\left(g_{ik}cos(δ_k-δ_i)-b_{ik}sin(δ_k-δ_i)\right)=P_i \\ V_i\sum_{k=1}^{N}V_k\left(g_{ik}sin(δ_k-δ_i)+b_{ik}cos(δ_k-δ_i)\right)=-Q_i \end{cases}, i=1..(N-1)[/math] (20) форма баланса мощностей.

Методы решения

Основные методы решения системы уравнений узловых напряжений:

1. Метод Гаусса-Зейделя — это один из самых первых разработанных методов. Обычно показывает более медленную сходимость по сравнению с другими итерационными методами. Основным преимуществом является малое использование памяти и не требуется матричная алгебра.
2. Метод Якоби.
3. Метод Z-матриц.
4. Метод Ньютона-Рафсона — один из самых популярных методов решения, основанный на разложении в ряд Тейлора.
5. Метод голоморфного встраивания — прямой метод расчёта на основе комплексного анализа.

Литература

1. Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах / Б. И. Аюев [и др.]; под ред. П. И. Бартоломея. — Москва : Флинта : Наука, 2008. — 254, [1] с. : ил., табл.; 22 см; ISBN 978-5-9765-0697-8.
2. Powell L. Power System Load Flow Analysis. McGraw Hill Professional. — 2004.
3. Wang, Xi-Fan, Song, Y.H., Irving, M. Modern power systems analysis, Springer Science, New York, 2008.