Уравнения узловых напряжений

Уравнения узловых напряжений - метод расчёта установившегося режима электрической сети на основе системы нелинейных (иногда линейных) алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются уравнения в узлах электрической сети.

Описание

Уравнения баланса токов представляют собой простейшую форму уравнений, описывающих установившиеся режимы. Существуют две модели ЭЭС: линейная и нелинейная. Отличительной особенностью этих моделей является то, что линейная модель предполагает задание комплексных значений токов, в отличие от нелинейной модели ЭЭС, которая, в свою очередь, предполагает задание активной и реактивной мощностей. В практической сфере энергетики задаются активной и реактивной мощностями, поэтому будем использовать нелинейную модель ЭЭС.

Формы записи УУН для сети переменного тока

В прямоугольной системе координат

В данной системе комплексные величины [math]\displaystyle \underline{y}_{ik}, \dot{U_{j}}, \dot{J_{i}}[/math] представляются в виде

[math]\displaystyle \dot{U_{k}}=U_{k}'+jU_{k}''[/math], (1)

[math]\displaystyle \dot{J_{i}}=J_{i}'+jJ_{i}''[/math], (2)

для проводимости справедливо следующее:

[math]\displaystyle \underline{y}=\frac{1}{\underline{z}}=\frac{1}{r+jx}=\frac{r-jx}{(r+jx)(r-jx)}=\frac{r-jx}{r^2+x^2}=\frac{r}{r^2+x^2}-j\frac{x}{r^2+x^2}=\frac{r}{|\underline{z}|^2}-j\frac{x}{|\underline{z}|^2} \Rightarrow g=\frac{r}{|\underline{z}|^2}; b=\frac{x}{|\underline{z}|^2}[/math]

получаем, что [math]\displaystyle \underline{y}=g-jb[/math],

но для удобства расчета матрицы проводимостей будем использовать соотношение

[math]\underline{y}=g+jb[/math] (3), тогда

[math]\displaystyle \underline{y}_{ik}=g_{ik}+jb_{ik}[/math]; [math]\underline{y}_{ii}=g_{ii}+jb_{ii};[/math]

[math]\displaystyle g_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Ng_{ik}[/math]; [math]b_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Nb_{ik}[/math]

Запишем УУН для линейной ЭЭС:

[math]\begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\dot{J}_{i}-\underline{Y}_{iб}\dot{U}_{б}, i=1..N\end{cases}[/math] (4)

левая часть данной системы характеризует токи, втекающие в k-й узел, правая часть - токи, вытекающие из того же узла, но с учетом влияния токов базы.

Подставляем (1), (2), (3) в (4), [math]\dot{U}_б[/math] представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее:

[math]\begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(g_{iб}+jb_{iб}\right)\left(U_{б}'+jU_{б}''\right), i=1..N\end{cases}[/math]

сгруппируем и приведем подобные:

[math]\begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)+j\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right)+j\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right)\right), i=1..N\end{cases}[/math] (5).

Сгруппируем относительно [math]j[/math] левую и правую части системы (5). Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые составляющие. Распишем в новой системе отдельно действительные и мнимые части. Получаем:

[math]\begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right), i=1..N\\ \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right), i=1..N \end{cases}[/math] (6)

Представим данную систему (6) в матричной форме:

[math]\begin{pmatrix} \bar{\bar{G}} & -\bar{\bar{B}} \\ \bar{\bar{B}} & \bar{\bar{G}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{U'} \\ \vec{U''} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{J'} \\ \vec{J''} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} \vec{G_б} & -\vec{B_б} \\ \vec{B_б} & \vec{G_б} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{U_б'} \\ \vec{U_б''} \end{pmatrix} [/math] (7)

В случае, если [math]\dot{U}_б=U_б+j0[/math], система (6) преобразуется к виду:

[math]\begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-g_{iб}U_б, i=1..N\\ \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-b_{iб}U_б, i=1..N \end{cases}[/math] (8)

Соответственно упрощается матричная форма записи системы (8):

[math]\begin{pmatrix} \bar{\bar{G}} & -\bar{\bar{B}} \\ \bar{\bar{B}} & \bar{\bar{G}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{U'} \\ \vec{U''} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{J'} \\ \vec{J''} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} \vec{G_б} \\ \vec{B_б} \end{pmatrix} U_б [/math] (9)

Методы решения

Основные методы решения системы уравнений узловых напряжений:

1. Метод Гаусса-Зейделя - это один из самых первых разработанных методов. Обычно показывает более медленную сходимость по сравнению с другими итерационными методами. Основным преимуществом является малое использование памяти и не требуется матричная алгебра.
2. Метод Якоби.
3. Метод Z-матриц.
4. Метод Ньютона-Рафсона - один из самых популярных методов решения, основанный на разложении в ряд Тейлора.
5. Метод голоморфного встраивания - прямой метод расчёта на основе комплексного анализа.

Литература

1. Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах / Б. И. Аюев [и др.] ; под ред. П. И. Бартоломея. - Москва : Флинта : Наука, 2008. - 254, [1] с. : ил., табл.; 22 см.; ISBN 978-5-9765-0697-8.
2. Powell L. Power System Load Flow Analysis. McGraw Hill Professional. - 2004.
3. Wang, Xi-Fan, Song, Y.H., Irving, M. Modern power systems analysis, Springer Science, New York, 2008.