Уравнения узловых напряжений — различия между версиями
Elmir (обсуждение | вклад) (→В прямоугольной системе координат) |
Elmir (обсуждение | вклад) (→В прямоугольной системе координат) |
||
Строка 29: | Строка 29: | ||
левая часть данной системы характеризует токи, втекающие в k-й узел, правая часть - токи, вытекающие из того же узла, но с учетом влияния токов базы. | левая часть данной системы характеризует токи, втекающие в k-й узел, правая часть - токи, вытекающие из того же узла, но с учетом влияния токов базы. | ||
− | Подставляем (1), (2), (3) в (4), <math>\dot{U}_б</math> представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее | + | Подставляем (1), (2), (3) в (4), <math>\dot{U}_б</math> представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее: |
− | : <math>\begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)=\ | + | : <math>\begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(g_{iб}+jb_{iб}\right)\left(U_{б}'+jU_{б}''\right)\end{cases}</math> |
+ | |||
+ | сгруппируем и приведем подобные: | ||
+ | |||
+ | : <math>\begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)+j\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right)+j\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right)\right)\end{cases}</math> (5). | ||
+ | |||
+ | Сгруппируем относительно <math>j</math> левую и правую части системы (5). Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые составляющие. Распишем в новой системе отдельно действительные мнимые части. Получаем: | ||
+ | |||
+ | <math>\begin{cases} | ||
+ | \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right)\\ | ||
+ | \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right) | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
==Методы решения== | ==Методы решения== |
Версия 20:45, 5 января 2019
Уравнения узловых напряжений - метод расчёта установившегося режима электрической сети на основе системы нелинейных (иногда линейных) алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются уравнения в узлах электрической сети.
Содержание
Описание
Уравнения баланса токов представляют собой простейшую форму уравнений, описывающих установившиеся режимы. Существуют две модели ЭЭС: линейная и нелинейная. Отличительной особенностью этих моделей является то, что линейная модель предполагает задание комплексных значений токов, в отличие от нелинейной модели ЭЭС, которая, в свою очередь, предполагает задание активной и реактивной мощностей. В практической сфере энергетики задаются активной и реактивной мощностями, поэтому будем использовать нелинейную модель ЭЭС.
Формы записи УУН для сети переменного тока
В прямоугольной системе координат
В данной системе комплексные величины [math]\displaystyle \underline{y}_{ik}, \dot{U_{j}}, \dot{J_{i}}[/math] представляются в виде
- [math]\displaystyle \dot{U_{k}}=U_{k}'+jU_{k}''[/math], (1)
- [math]\displaystyle \dot{J_{i}}=J_{i}'+jJ_{i}''[/math], (2)
для проводимости справедливо следующее:
- [math]\displaystyle \underline{y}=\frac{1}{\underline{z}}=\frac{1}{r+jx}=\frac{r-jx}{(r+jx)(r-jx)}=\frac{r-jx}{r^2+x^2}=\frac{r}{r^2+x^2}-j\frac{x}{r^2+x^2}=\frac{r}{|\underline{z}|^2}-j\frac{x}{|\underline{z}|^2} \Rightarrow g=\frac{r}{|\underline{z}|^2}; b=\frac{x}{|\underline{z}|^2}[/math]
получаем, что [math]\displaystyle \underline{y}=g-jb[/math], [math][/math] но для удобства расчета матрицы проводимостей будем использовать соотношение
- [math]\underline{y}=g+jb[/math] (3), тогда
- [math]\displaystyle \underline{y}_{ik}=g_{ik}+jb_{ik}[/math]; [math]\underline{y}_{ii}=g_{ii}+jb_{ii};[/math]
- [math]\displaystyle g_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Ng_{ik}[/math]; [math]b_{ii}=-\sum_{j=1,j\neq{i}}^Nb_{ik}[/math]
Запишем УУН для линейной ЭЭС:
- [math]\begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\underline{Y}_{ik}\dot{U}_{k}=\dot{J}_{i}-\underline{Y}_{iб}\dot{U}_{б}\end{cases}[/math], (4)
левая часть данной системы характеризует токи, втекающие в k-й узел, правая часть - токи, вытекающие из того же узла, но с учетом влияния токов базы.
Подставляем (1), (2), (3) в (4), [math]\dot{U}_б[/math] представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее:
- [math]\begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}+jb_{ik}\right)\left(U_{k}'+jU_{k}''\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(g_{iб}+jb_{iб}\right)\left(U_{б}'+jU_{б}''\right)\end{cases}[/math]
сгруппируем и приведем подобные:
- [math]\begin{cases}\sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)+j\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}'+jJ_{i}''-\left(\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right)+j\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right)\right)\end{cases}[/math] (5).
Сгруппируем относительно [math]j[/math] левую и правую части системы (5). Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые составляющие. Распишем в новой системе отдельно действительные мнимые части. Получаем:
[math]\begin{cases} \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k'-b_{ik}U_k''\right)=J_{i}'-\left(g_{iб}U_б'-b_{iб}U_б''\right)\\ \sum_{k=1}^{N}\left(g_{ik}U_k''+b_{ik}U_k'\right)=J_{i}''-\left(g_{iб}U_б''+b_{iб}U_б'\right) \end{cases}[/math]
Методы решения
Основные методы решения системы уравнений узловых напряжений:
- Метод Гаусса-Зейделя - это один из самых первых разработанных методов. Обычно показывает более медленную сходимость по сравнению с другими итерационными методами. Основным преимуществом является малое использование памяти и не требуется матричная алгебра.
- Метод Якоби.
- Метод Z-матриц.
- Метод Ньютона-Рафсона - один из самых популярных методов решения, основанный на разложении в ряд Тейлора.
- Метод голоморфного встраивания - прямой метод расчёта на основе комплексного анализа.
Литература
- Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах / Б. И. Аюев [и др.] ; под ред. П. И. Бартоломея. - Москва : Флинта : Наука, 2008. - 254, [1] с. : ил., табл.; 22 см.; ISBN 978-5-9765-0697-8.
- Powell L. Power System Load Flow Analysis. McGraw Hill Professional. - 2004.
- Wang, Xi-Fan, Song, Y.H., Irving, M. Modern power systems analysis, Springer Science, New York, 2008.