Ручной расчёт установившегося режима методом контурных уравнений

В статье приведено описание метода ручного расчёта сложно-замкнутой электрической сети методом контурных уравнений.

Пример расчёта сложно-замкнутой электрической сети

Задание

Выполнить расчёт распределения потоков мощностей с учётом потерь мощности методом эквивалентирования.

Исходные данные

Рисунок 1. Исходная схема электрической сети.

1. Исходная схема электрической сети представлена на рисунке 1.
2. Мощности нагрузок узлов:
   • [math]\displaystyle \dot S_{2}=30+j15 \text{ МВА }; [/math]
   • [math]\displaystyle \dot S_{3}=40+j20 \text{ МВА }; [/math]
   • [math]\displaystyle \dot S_{4}=-40-j20 \text{ МВА }; [/math]
   • [math]\displaystyle \dot S_{5}=-50-j25 \text{ МВА }; [/math]
   • [math]\displaystyle \dot S_{6}=40+j20 \text{ МВА }; [/math]
   • [math]\displaystyle \dot S_{7}=30+j15 \text{ МВА }. [/math]
3. Напряжения базисного узла:[math]\displaystyle \dot{U}_{\text{1}}=115[/math] кВ.
4. Марка проводов ЛЭП:
   • 1-2: 2хАС-240, 50 км;
   • 1-6: 2хАС-240, 50 км;
   • 2-3: 2хАС-240, 50 км;
   • 2-5: 2хАС-240, 50 км;
   • 3-4: АС-240, 25 км;
   • 4-6: 3хАС-240, 40 км;
   • 5-6: АС-185, 40 км;
   • 5-7: АС-185, 30 км;
   • 6-7: АС-185, 30 км.

Решение

Расчет параметров схемы замещения

Схема замещения сети и её параметров, приведена на рисунке 2. Расчет параметров для ЛЭП выполнен на основе справочных данных параметров ЛЭП

ЛЭП 1-2:

[math]\displaystyle R_{1-2}=\frac {R_{0} \cdot L_{1-2}}{N} = \frac {0,118 \cdot 50}{2} = 2,95 [/math] Ом;

[math]\displaystyle X_{1-2}=\frac {X_{0} \cdot L_{1-2}}{N} = \frac {0,405 \cdot 50}{2} = 10,12 [/math] Ом;

[math]\displaystyle B_{1-2}= B_{0} \cdot L_{1-2} \cdot N = 2,808 \cdot 50 \cdot 2= 280,8 [/math] мкСм.

ЛЭП 1-6:

[math]\displaystyle R_{1-6}=\frac {R_{0} \cdot L_{1-6}}{N} = \frac {0,118 \cdot 50}{2} = 2,95 [/math] Ом;

[math]\displaystyle X_{1-6}=\frac {X_{0} \cdot L_{1-6}}{N} = \frac {0,405 \cdot 50}{2} = 10,12 [/math] Ом;

[math]\displaystyle B_{1-6}= B_{0} \cdot L_{1-6} \cdot N = 2,808 \cdot 50 \cdot 2= 280,8 [/math] мкСм.

ЛЭП 2-3:

[math]\displaystyle R_{2-3}=\frac {R_{0} \cdot L_{2-3}}{N} = \frac {0,118 \cdot 50}{2} = 2,95 [/math] Ом;

[math]\displaystyle X_{2-3}=\frac {X_{0} \cdot L_{2-3}}{N} = \frac {0,405 \cdot 50}{2} = 10,12 [/math] Ом;

[math]\displaystyle B_{2-3}= B_{0} \cdot L_{2-3} \cdot N = 2,808 \cdot 50 \cdot 2= 280,8 [/math] мкСм.

ЛЭП 2-5:

[math]\displaystyle R_{2-5}=\frac {R_{0} \cdot L_{2-5}}{N} = \frac {0,118 \cdot 50}{2} = 2,95 [/math] Ом;

[math]\displaystyle X_{2-5}=\frac {X_{0} \cdot L_{2-5}}{N} = \frac {0,405 \cdot 50}{2} = 10,12 [/math] Ом;

[math]\displaystyle B_{2-5}= B_{0} \cdot L_{2-5} \cdot N = 2,808 \cdot 50 \cdot 2= 280,8 [/math] мкСм.

ЛЭП 3-4:

[math]\displaystyle R_{3-4}=\frac {R_{0} \cdot L_{3-4}}{N} = \frac {0,118 \cdot 25}{1} = 2,95 [/math] Ом;

[math]\displaystyle X_{3-4}=\frac {X_{0} \cdot L_{3-4}}{N} = \frac {0,405 \cdot 25}{1} = 10,12 [/math] Ом;

[math]\displaystyle B_{3-4}= B_{0} \cdot L_{3-4} \cdot N = 2,808 \cdot 25 \cdot 1= 70,2 [/math] мкСм.

ЛЭП 4-6:

[math]\displaystyle R_{4-6}=\frac {R_{0} \cdot L_{4-6}}{N} = \frac {0,118 \cdot 40}{3} = 1,57 [/math] Ом;

[math]\displaystyle X_{4-6}=\frac {X_{0} \cdot L_{4-6}}{N} = \frac {0,405 \cdot 40}{3} = 5,4 [/math] Ом;

[math]\displaystyle B_{4-6}= B_{0} \cdot L_{4-6} \cdot N = 2,808 \cdot 40 \cdot 3= 336,96 [/math] мкСм.

ЛЭП 5-6:

[math]\displaystyle R_{5-6}=\frac {R_{0} \cdot L_{5-6}}{N} = \frac {0,159 \cdot 40}{1} = 6,36 [/math] Ом;

[math]\displaystyle X_{5-6}=\frac {X_{0} \cdot L_{5-6}}{N} = \frac {0,413 \cdot 40}{1} = 16,52 [/math] Ом;

[math]\displaystyle B_{5-6}= B_{0} \cdot L_{5-6} \cdot N = 2,747 \cdot 40 \cdot 1= 109,88 [/math] мкСм.

ЛЭП 5-7:

[math]\displaystyle R_{5-7}=\frac {R_{0} \cdot L_{5-7}}{N} = \frac {0,159 \cdot 30}{1} = 4,77 [/math] Ом;

[math]\displaystyle X_{5-7}=\frac {X_{0} \cdot L_{5-7}}{N} = \frac {0,413 \cdot 30}{1} = 12,39 [/math] Ом;

[math]\displaystyle B_{5-7}= B_{0} \cdot L_{5-7} \cdot N = 2,747 \cdot 30 \cdot 1= 82,41 [/math] мкСм.

ЛЭП 6-7:

[math]\displaystyle R_{6-7}=\frac {R_{0} \cdot L_{6-7}}{N} = \frac {0,159 \cdot 30}{1} = 4,77 [/math] Ом;

[math]\displaystyle X_{6-7}=\frac {X_{0} \cdot L_{6-7}}{N} = \frac {0,413 \cdot 30}{1} = 12,39 [/math] Ом;

[math]\displaystyle B_{6-7}= B_{0} \cdot L_{6-7} \cdot N = 2,747 \cdot 30 \cdot 1= 82,41 [/math] мкСм.

Расчет эквивалентных мощностей узлов

Для удобства дальнейших вычислений рассчитаем потери реактивной мощности в шунтах и сложим их с мощностью нагрузок в узлах сети:

[math]\displaystyle \underline {Y}_2 = j \frac{ B_{2-3} }{2} + j \frac{ B_{1-2} }{2} + j \frac{ B_{2-5} } {2} = j \frac{1}{2} (280,8 + 280,8 + 280,8) = j 421,2 \text{ мкСм }[/math];

[math]\displaystyle \underline {Y}_3 = j \frac{ B_{3-4} }{2} + j \frac{ B_{2-3} }{2} = j \frac{1}{2} ( 70,2 + 280,8 ) = 175,5 \text{ мкСм }[/math];

[math]\displaystyle \underline {Y}_4 = j \frac{ B_{3-4} }{2} + j \frac{ B_{4-6} }{2} = j \frac{1}{2} ( 70,2 + 336,96 ) = 203,58 \text{ мкСм }[/math];

[math]\displaystyle \underline {Y}_5 = j \frac{ B_{2-5} }{2} + j \frac{ B_{5-6} }{2} + j \frac{ B_{5-7} }{2} = j \frac{1}{2} ( 280,8 + 109,88 + 82,41 ) = 236,54 \text{ мкСм }[/math];

[math]\displaystyle \underline {Y}_6 = j \frac{ B_{1-6} }{2} + j \frac{ B_{4-6} }{2} + j \frac{ B_{5-6} }{2} + j \frac{ B_{6-7} }{2} = j \frac{1}{2} ( 280,8 + 336,96 + 109,88 + 82,41 ) = 405,02 \text{ мкСм }[/math];

[math]\displaystyle \underline {Y}_7 = j \frac{ B_{5-7} }{2} + j \frac{ B_{6-7} }{2} = j \frac{1}{2} ( 82,41 + 82,41 ) = 82,41 \text{ мкСм }[/math].

Выполним расчёт потерь в шунтах заданной электрической сети, затем эквивалентируем их в узлы. Результат эквивалентирования узлов представлен на рисунке 3.

Расчёт потерь в шунтах. Задается начальное приближение во всех узлах сети, пусть [math]\dot{U}_{\text{1}}=115 [/math] кВ.

[math]\displaystyle \Delta \dot S_{ \text{ш2}} = \dot{U_{2}}^{2} \cdot \hat{Y}_2 = 115^{2} \cdot (-j 421,2) \cdot 10^{-6}=-j 5,57 \text{ МВА }[/math];

[math]\displaystyle \Delta \dot S_{ \text{ш3}} = \dot{U_{3}}^{2} \cdot \hat{Y}_3 = 115^{2} \cdot (-j 175,5) \cdot 10^{-6}=-j 2,321 \text{ МВА }[/math];

[math]\displaystyle \Delta \dot S_{ \text{ш4}} = \dot{U_{4}}^{2} \cdot \hat{Y}_4 = 115^{2} \cdot (-j 203,58) \cdot 10^{-6}=-j 2,692 \text{ МВА }[/math];

[math]\displaystyle \Delta \dot S_{ \text{ш5}} = \dot{U_{5}}^{2} \cdot \hat{Y}_5 = 115^{2} \cdot (-j 236,54) \cdot 10^{-6}=-j 2,128 \text{ МВА }[/math];

[math]\displaystyle \Delta \dot S_{ \text{ш6}} = \dot{U_{6}}^{2} \cdot \hat{Y}_6 = 115^{2} \cdot (-j 405,02) \cdot 10^{-6}=-j 5,356 \text{ МВА }[/math];

[math]\displaystyle \Delta \dot S_{ \text{ш7}} = \dot{U_{7}}^{2} \cdot \hat{Y}_7 = 115^{2} \cdot (-j 82,41) \cdot 10^{-6}=-j 1,09 \text{ МВА }[/math].

Рассчитаем эквивалентные мощности узлов с учетом потерь в шунтах.

[math]\displaystyle \dot S_{ 2,\text{Э1} } = \dot S_{2} + \Delta \dot S_{ \text{ш2}} =30+j15 + (-j 5,57) = 30 + j9,43 \text{ МВА }; [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{ 3,\text{Э1} } = \dot S_{3} + \Delta \dot S_{ \text{ш3}} = 40+j20 + (-j 2,321) = 40 + j17,68 \text{ МВА }; [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{ 4,\text{Э1} } = \dot S_{4} + \Delta \dot S_{ \text{ш4}} = -40-j20 + (-j 2,692) = -40 - j22,69 \text{ МВА }; [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{ 5,\text{Э1} } = \dot S_{5} + \Delta \dot S_{ \text{ш5}} = -50-j25 + (-j 3,128) = -50 -j28,13 \text{ МВА }; [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{ 6,\text{Э1} } = \dot S_{6} + \Delta \dot S_{ \text{ш6}} = 40+j20 + (-j 5,356) = 40 + j14,64 \text{ МВА }; [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{ 7,\text{Э1} } = \dot S_{7} + \Delta \dot S_{ \text{ш7}} = 30+j15 + (-j 1,09) =30 + j13,91 \text{ МВА }. [/math]

Контурные уравнения в форме баланса мощностей

Запишем систему следующего вида:

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot S_{I}\hat {Z}_{I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{I,II}+\dot S_{III}\hat {Z}_{I,III}=-\dot B_{I} \\ \dot S_{I}\hat {Z}_{I,II}+\dot S_{II}\hat {Z}_{II}+\dot S_{III}\hat {Z}_{II,III}=-\dot B_{II} \\ \dot S_{I}\hat {Z}_{I,III}+\dot S_{II}\hat {Z}_{II,III}+\dot S_{III}\hat {Z}_{III}=-\dot B_{III} \end{cases}[/math]

Где:

[math]\ Z_{I}[/math] - собственное сопротивление первого контура, которое рассчитывается как сумма сопротивлений ветвей входящих в первый контур.

[math]\ Z_{I,II}[/math] - взаимное сопротивление первого и второго контуров, которое рассчитывается как сумма сопротивлений ветвей входящих в оба контура.

[math]\ B_{I}[/math] - свободная оставляющая первого контура, который рассчитывается как сумма произведений сопротивлений ветвей первого контура на протекающую по ним мощность.

Расчет собственных сопротивлений контуров

[math]\ Z_{I}=Z_{1-2}+Z_{2-3}+Z_{3-4}+Z_{4-6}+Z_{1-6}=2,95+j10,12+2,95+j10,12+2,95+j10,12+1,57+j5,4+2,95+j10,12=13,37+j45,88[/math]Ом; [math]\ Z_{II}=Z_{1-2}+Z_{2-5}+Z_{5-6}+Z_{1-6}=2,95+j10,12+2,95+j10,12+6,36+j16,52+2,95+j10,12=15,21+j46,88[/math]Ом; [math]\ Z_{II}=Z_{5-7}+Z_{6-7}+Z_{5-6}=4,77+j12,39+4,77+j12,39+6,36+j16,52+=15,9+j41,3[/math]Ом;

Расчет взаимных сопротивлений контуров

[math]\ Z_{I,II}=Z_{1-2}+Z_{1-6}=2,95+j10,12+2,95+j10,12=5,9+j20,24[/math] Ом;

[math]\ Z_{II,III}=Z_{5-6}=6,36+j16,52[/math] Ом;

[math]\ Z_{I,III}=0[/math] Ом;

Расчет свободных составляющих контуров

Для записи выражений свободных составляющих : [math]\ \dot B_{I},\dot B_{II},\dot B_{III}[/math] воспользуемся рисунком №. Данный рисунок, а также все указанные в нем направления перетоков мощностей, необходимы исключительно для формирования : [math]\ \dot B_{I},\dot B_{II},\dot B_{III}[/math] . Направление перетока всегда от базового узла. Направление контурных мощностей неизменно. Свободная составляющая каждого контура рассчитывается как сумма произведений сопротивления ветви и суммарного перетока мощности по этой ветви. Рассматривается переток мощности по каждой ветви входящей в контур. Рассчитывается сумма потоков мощностей всех узлов сети, протекающая по данной ветви древа от базового узла. Если направление данного перетока совпадает с направлением контурного потока, то сопротивление ветви, по которой протекает данный переток мощности, берется со знаком "+". Если направления не совпадают, то сопротивление берется со знаком "-".

[math]\ \dot B_{I}=-\hat Z_{1-2}*(S_{2}+S_{3})-\hat Z_{2-3}*S_{3}+\hat Z_{1-6}*(S_{4}+S_{5}+S_{6}+S_{7})+\hat Z_{4-6}*S_{4}=-(2,95-j10,12)*(30+j9,43+40+j17,68)-(2,95-j10,12)*(40+j17,68)+(2,95-j10,12)*(40+j14,64+30+j13,91-50-j28,13-40-j22,69)+(1,57-j5,4)*(-40-j22,69)=-1247,5+j1298,1[/math]

[math]\ \dot B_{II}=-\hat Z_{1-2}*(S_{2}+S_{3})+\hat Z_{1-6}*(S_{4}+S_{5}+S_{6}+S_{7})+\hat Z_{5-6}*S_{5}=-(2,95-j10,12)*(30+j9,43+40+j17,68)-(2,95-j10,12)*(40+j17,68)+(2,95-j10,12)*(40+j14,64+30+j13,91-50-j28,13-40-j22,69)+(6,36-j16,52)*(-50-j28,13)=-1547,9+j1412,2[/math]

[math]\ \dot B_{III}=\hat Z_{5-6}*S_{5}-\hat Z_{6-7}*S_{7}=(6,36-j16,52)*(-50-j28,13)-(4,77-j12,39)*(30+j13,91)=-1098,2+j952,44[/math]

Расчет перетоков мощности по хордам

[math]\displaystyle \begin{cases} \dot S_{I}\hat {Z}_{I}+\dot S_{II}\hat {Z}_{I,II}+\dot S_{III}\hat {Z}_{I,III}=-\dot B_{I} \\ \dot S_{I}\hat {Z}_{I,II}+\dot S_{II}\hat {Z}_{II}+\dot S_{III}\hat {Z}_{II,III}=-\dot B_{II} \\ \dot S_{I}\hat {Z}_{I,III}+\dot S_{II}\hat {Z}_{II,III}+\dot S_{III}\hat {Z}_{III}=-\dot B_{III} \end{cases}[/math]

Решив данную систему уравнений относительно [math]\dot S_{I},\dot S_{II} [/math] и [math]\dot S_{III}[/math], получаем следующие значения:

[math]\dot S_{I}=25,24+j12,21[/math] МВА;

[math]\dot S_{II}=18,45+j11,89[/math] МВА;

[math]\dot S_{III}=21,62+j10,67[/math] МВА;

Расчет перетоков мощности в остальных ветвях

[math] S_{2-3}=S_{3}-S_{I}=40+j17,68-(25,24+j12,21)=14,76+j5,46[/math] МВА;

[math] S_{4-6}=-S_{4}-S_{I}=(-40-j22,69)-(25,24+j12,21)=14,76+j10,47[/math] МВА;

[math] S_{1-2}=S_{2}+S_{2-3}-S_{II}=30+j9,43+14,76+j5,46-(18,45+j11,89)=26,31+j3[/math] МВА;

[math] S_{5-6}=-S_{5}-S_{II}-S_{III}=-(-50-j28,13)-(18,45+j11,89)-(21,62+j10,67)=9,93+j5,57[/math] МВА;

[math] S_{6-7}=-S_{7}-S_{III}=30+j13,91-(21,62+j10,67)=8,38+j3,24[/math] МВА;

[math] S_{1-6}=S_{6}+S_{6-7}-S_{5-6}-S_{4-6}=40+j14,64+8,38+j3,24(9,93+j5,57)-(14,76+j10,47)=23,69+j1,84[/math] МВА;

Нахождение точек потокораздела

Выбор точек потокораздела выбирается самостоятельно, с учетом того, чтоб дальнейший расчёт радиальной электрической сети был наиболее оптимальный.

Узел потокораздела необходимо разделять на две части. Если разделить на большее число частей, то на следующих этапах будет затруднительно рассчитывать уравнительный переток между частями узла потокораздела.

Важно отметить, что к одной из частей узла потокораздела должна подходить только одна ветвь. Другими словами узел потокараздела ранга [math]N[/math] разделяется на два узла: один узел имеет ранг [math]N-1[/math], а другой узел ранг [math]1[/math].

Выберем узлы 3,5,7.