Пример ручного расчета преобразования "звезда-треугольник"

В данной статье представлены примеры расчёта установившегося режима электрической сети.

С целью упрощения расчётов продольные и поперечные потери мощности в ветвях электрической сети не учитываются.

Пример расчёта сети с преобразованием трёхлучевой звезды

Рисунок 1 — Исходная схема электрической сети, с трехлучевой звездой

Рисунок 2 — Схема электрической сети, преобразование трехлучевой звезды в треугольник

Рисунок 3 — Схема электрической сети, расчёт перетоков мощностей по ветвям

Рисунок 4 — Схема электрической сети, перетоки мощностей по ветвям

Исходные данные

1. Исходная схема электрической сети представлена на рисунке 1.
2. Мощности нагрузок узлов: [math]\displaystyle \dot S_{i}=10+j5\text{ МВА, i=2,3,4 }. [/math]
3. Напряжения базисного узла:[math]\displaystyle\dot{U}_{\text{1}}=110[/math] кВ.
4. Сопротивления линий:

[math]\displaystyle \dot Z_{12}=1+j1\text{ Ом; } \dot Z_{13}=4+j4\text{ Ом; } \dot Z_{23}=3+j3\text{ Ом; }[/math] [math]\displaystyle \dot Z_{24}=2+j2\text{ Ом; } \dot Z_{34}=4+j4\text{ Ом;}.[/math]

Решение:

Преобразуем звезду в треугольник, рассчитаем сопротивления (рисунок 2): [math]\displaystyle \dot Z_{14_{tr}}=\dot Z_{12}+\dot Z_{24}+ \frac {\dot Z_{12} \cdot \dot Z_{24}} {\dot Z_{23}}=(1+j1)+(2+j2)+\frac {(1+j1) \cdot (2+j2)}{3+j3}=5.5+j5.5 \text{ Ом;} [/math] [math]\displaystyle \dot Z_{13_{tr}}=\dot Z_{12}+\dot Z_{23}+ \frac {\dot Z_{12} \cdot \dot Z_{23}} {\dot Z_{24}}=(1+j1)+(3+j3)+\frac {(1+j1) \cdot (3+j3)}{2+j2}=3.7+j3.7 \text{ Ом;} [/math] [math]\displaystyle \dot Z_{34_{tr}}=\dot Z_{23}+\dot Z_{24}+ \frac {\dot Z_{23} \cdot \dot Z_{24}} {\dot Z_{12}}=(3+j3)+(2+j2)+\frac {(3+j3) \cdot (2+j2)}{1+j1}=11+j11 \text{ Ом;} [/math]

Разнос нагрузок из центра звезды (рисунок 2):

[math]\displaystyle \dot S_{1_{1}}=\dot S_{2} \cdot \frac {\hat Z_{23} \cdot \hat Z_{24}}{\hat Z_{12} \cdot \hat Z_{23}+\hat Z_{12} \cdot \hat Z_{24}+\hat Z_{23} \cdot \hat Z_{24}}=(10+j5) \cdot [/math]

[math]\displaystyle \cdot \frac {(3-j3)\cdot(2-j2)}{(1-j1)\cdot(3-j3)+(1-j1)\cdot(2-j2)+(3-j3)\cdot(2-j2)}=5.5+j2.4 \text{ МВА;} [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{1_{Э}}=\dot S_{1_{1}}= 5.5+j2.4 \text{ МВА;}[/math]

[math]\displaystyle \dot S_{3_{1}}=\dot S_{2} \cdot \frac {\hat Z_{12} \cdot \hat Z_{24}}{\hat Z_{12} \cdot \hat Z_{23}+\hat Z_{12} \cdot \hat Z_{24}+\hat Z_{23} \cdot \hat Z_{24}}=(10+j5) \cdot [/math]

[math]\displaystyle \cdot \frac {(1-j1)\cdot(2-j2)}{(1-j1)\cdot(3-j3)+(1-j1)\cdot(2-j2)+(3-j3)\cdot(2-j2)}=1.8+j0.9 \text{ МВА;} [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{3_{Э}}=\dot S_{3}+\dot S_{3_{1}}= (10+j5)+(1.8+j0.9)=11.8+j5.9 \text{ МВА;}[/math]

[math]\displaystyle \dot S_{4_{1}}=\dot S_{2} \cdot \frac {\hat Z_{12} \cdot \hat Z_{23}}{\hat Z_{12} \cdot \hat Z_{23}+\hat Z_{12} \cdot \hat Z_{24}+\hat Z_{23} \cdot \hat Z_{24}}=(10+j5) \cdot [/math]

[math]\displaystyle \cdot \frac {(1-j1)\cdot(3-j3)}{(1-j1)\cdot(3-j3)+(1-j1)\cdot(2-j2)+(3-j3)\cdot(2-j2)}=2.7+j1.4 \text{ МВА;} [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{4_{Э}}=\dot S_{4}+\dot S_{4_{1}}= (10+j5)+(2.7+j1.4)=12.7+j6.4 \text{ МВА;}[/math]

Преобразуем параллельные сопротивления:

[math]\displaystyle \dot Z_{13_{Э}}=\frac {\dot Z_{13} \cdot \dot Z_{13_{tr}}}{\dot Z_{13}+\dot Z_{13_{tr}}}=\frac {(4+j4) \cdot (5.5+j5.5)}{(4+j4)+(5.5+j5.5)}=2.3+j2.3 \text{ Ом;} [/math] [math]\displaystyle \dot Z_{34_{Э}}=\frac {\dot Z_{34} \cdot \dot Z_{34_{tr}}}{\dot Z_{34}+\dot Z_{34_{tr}}}=\frac {(4+j4) \cdot (11+j11)}{(4+j4)+(11+j11)}=2.9+j2.9 \text{ Ом;} [/math]

Рассчитаем перетоки мощности по ветвям (рисунок 3):

Примем следующее допущение: пусть напряжения во всей электрической сети постоянно и не зависит от распределения потоков мощностей. С учётом того, что продольные и поперечные потери мощности отсутствуют, то поток мощности в начале ветви равен потоку мощности в конце ветви.

Пусть мощность ветви 1-4 равной контурной (головной поток), тогда:

[math]\displaystyle \dot S_{14}= \frac { S_{4_{Э}} \cdot (\hat Z_{34_{Э}}+\hat Z_{13_{Э}})+S_{3_{Э}} \cdot (\hat Z_{13_{Э}})}{\hat Z_{14_{tr}}+\hat Z_{34_{Э}}+\hat Z_{13_{Э}}}=\frac {(12.7+j6.4) \cdot ((2.9-j2.9)+(2.3-j2.3))+(11.8+j5.9) \cdot (2.3-j2.3)}{(3.7-j3.7)+(2.9-j2.9)+(2.3-j2.3)}=10.5+j5.3 \text { МВА;} [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{34}= \dot S_{14}-\dot S_{4_{Э}}=(10.5+j5.3)-(12.7+j6.4)=-2.2-j1.1 \text { МВА;} [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{13}= \dot S_{34}-\dot S_{3_{Э}}=(-2.2-j1.1)-(11.8+j5.9)=-13.2-j6.9 \text { МВА;} [/math]

Рисунок 5 — Схема электрической сети, возвращение центра звезды.

Рисунок 6 — Итог расчетов.

Рассчитаем перетоки мощности по ветвям (рисунок 4):

[math]\displaystyle \dot S_{1-3}= \dot S_{13} \cdot \frac {\dot Z_{13_{tr}}}{\dot Z_{13_{tr}}+\dot Z_{13}}=(13.2+j6.9) \cdot \frac {(5.5+j5.5)}{(5.5+j5.5)+(4+j4)}=7.6+j3.9 \text { МВА;} [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{1-3{tr}}= \dot S_{13} \cdot \frac {\dot Z_{13}}{\dot Z_{13_{tr}}+\dot Z_{13}}=(13.2+j6.9) \cdot \frac {(4+j4)}{(5.5+j5.5)+(4+j4)}=5.6+j3 \text { МВА;} [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{3-4}= \dot S_{34} \cdot \frac {\dot Z_{34_{tr}}}{\dot Z_{34_{tr}}+\dot Z_{34}}=(2.2+j1.1) \cdot \frac {(11+j11)}{(11+j11)+(4+j4)}=1.6+j0.8 \text { МВА;} [/math]

[math]\displaystyle \dot S_{3-4{tr}}= \dot S_{34} \cdot \frac {\dot Z_{34}}{\dot Z_{34_{tr}}+\dot Z_{34}}=(2.2+j1.1) \cdot \frac {(4+j4)}{(11+j11)+(4+j4)}=0.6+j0.3 \text { МВА;} [/math]

Рассчитаем перетоки по ветвям, после возвращения центра звезды (рисунок 5):

[math]\displaystyle \dot S_{1-2}=\dot S_{14} - \dot S_{1-3{tr}}=(10.5+j5.3)-(5.6+j3)=4.9+j2.3 \text { МВА;} [/math] [math]\displaystyle \dot S_{2-3}=\dot S_{1-3{tr}} + \dot S_{3-4{tr}}=(5.6+j3)+(0.6+j0.3)=7.2+j3.3 \text { МВА;} [/math] [math]\displaystyle \dot S_{2-4}=\dot S_{14} + \dot S_{3-4{tr}}=(10.5+j5.3)+(0.6+j0.3)=11.1+j5.6 \text { МВА;} [/math]

Результаты расчетов представлены на рисунке 6.