Моделирование дуговых поперечных несимметричных режимов в RastrWin

В статье описан подход к моделированию поперечных несимметричных режимов в ПК RastrWin. Такие модели необходимы для расчётов дуговых коротких замыканий.

Оценка сопротивления дуги

По расчётным данным металлического короткого замыкания можно оценить сопротивление дуги с учётом того, что:

• Есть только переодическая состовляющая тока короткого замыкания.
• Сопротивление дуги с течением времени постоянно.
• ЭДС совпадает по направлению с осью действительных чисел.

Для каждого вида короткого замыкания можно вывести уравнение для оценки сопротивления дуги.

Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный [math]I_a[/math] по модулю.

Неизвестные: [math]R_a, I_a[/math]

Обозначения: $$ \dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right), $$

$$ \dot{E} = E, $$

$$ \dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0, $$

$$ \dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1, $$

$$ \dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2. $$

Короткие замыкания на землю

Трехфазное КЗ

Рисунок 1. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\ R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

• Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = U \cdot L $$ $$ B = 1 $$ $$ R^\prime = R_1 $$ $$ X^\prime = X_1 $$

Однофазное КЗ

Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\ R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

• Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = U \cdot L $$ $$ B = \frac{1}{3} $$ $$ R^\prime = R_0 + R_1 + R_2 $$ $$ X^\prime = X_0 + X_1 + X_2 $$

Двухфазное КЗ на землю

Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(2 \cdot R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\ 2 \cdot R_a = \frac{2 \cdot U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

• Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = 2 \cdot U \cdot L $$ $$ B = - \frac{1}{3} $$ $$ R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}} $$ $$ X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}} $$

Общая часть

Решение:

$$ E = B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right) $$

• Внесём [math]I_a[/math] в скобки и разделим обе части на [math](\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))[/math]:

$$ \frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

• Преобразуем:

$$ E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

• Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$ \left\{\begin{array}{@{}B@{}} \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime \end{array}\right. $$

• Выразим [math]I_a[/math] из второго уравнения:

$$ I_a = -\sin(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime} $$

• Подставим [math]I_a[/math] в первое уравнение:

$$ \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot K - B \cdot \sin(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime} $$

• Домножим на [math]X^\prime[/math], приведем подобные:

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime $$

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime + \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime $$

• Введем переменные:

$$ A = \sqrt{(E \cdot X^\prime)^2 + (E \cdot R^\prime)^2} $$

$$ \alpha = atan2\left( (E \cdot R^\prime), (E \cdot X^\prime) \right) $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A} $$ $$ \sin(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A} $$

• Подставим переменные, разделив уравнение на [math]A[/math]:

$$ \cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

• Записанное слева — косинус разности:

$$ \cos(\varphi - \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

• Решим относительно [math]\varphi[/math]:

$$ \varphi = \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z} $$

• [math]I_a[/math] находится из первого уравнения системы 7.

Короткие замыкания без земли

Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).

Двухфазное КЗ

Система для решения:

$$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot (\frac{R_a}{2} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\ \frac{R_a}{2} = \frac{U \cdot L}{2 \cdot I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

• Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ L =\frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ R^\prime = R_1 + R_2 $$ $$ X^\prime = X_1 + X_2 $$

Решение:

$$ E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = j\cdot L \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right) $$

• Внесём [math]I_a[/math] в скобки и разделим обе части на [math](\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi))[/math]:

$$ \frac{E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}}{\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi)} = j \cdot L \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

• Преобразуем:

$$ (E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}) \cdot (\cos(\psi) - j \cdot \sin(\psi)) = j \cdot L \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - L \cdot I_a \cdot X^\prime $$

• Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$ \left\{\begin{array}{@{}l@{}} \cos(\psi) \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = - L \cdot I_a \cdot X^\prime, \\ -\sin(\psi) \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = L \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) \end{array}\right. $$

• Выразим [math]I_a[/math] из первого уравнения:

$$ I_a = -\sin(\psi) \cdot \frac{E^{\prime\prime}}{L \cdot X^\prime} - \cos(\psi) \cdot \frac{E^\prime}{L \cdot X^\prime} $$

• Подставим [math]I_a[/math] во второе уравнение:

$$ -\sin(\psi) \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = L \cdot K - L \cdot \sin(\psi) \cdot \frac{E^{\prime\prime} \cdot R^\prime}{L \cdot X^\prime} - L \cdot \cos(\psi) \cdot \frac{E^\prime \cdot R^\prime}{L \cdot X^\prime} $$

• Домножим на [math]X^\prime[/math], приведем подобные:

$$ -\sin(\psi) \cdot E^\prime \cdot X^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot X^\prime = L \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - \cos(\psi) \cdot E^\prime \cdot R^\prime $$

$$ \cos(\psi) \cdot (E^\prime \cdot R^\prime + E^{\prime\prime} \cdot X^\prime) + \sin(\psi) \cdot (E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - E^\prime \cdot X^\prime) = L \cdot K \cdot X^\prime $$

• Введем переменные:

$$ A = \sqrt{(E^\prime \cdot R^\prime + E^{\prime\prime} \cdot X^\prime)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - E^\prime \cdot X^\prime)^2} = \sqrt{(E^\prime \cdot R^\prime)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot X^\prime)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot R^\prime)^2 + (E^\prime \cdot X^\prime)^2} $$

$$ \alpha = atan2\left( (E^\prime \cdot R^\prime + E^{\prime\prime} \cdot X^\prime), (E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - E^\prime \cdot X^\prime) \right) $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{E^\prime \cdot R^\prime + E^{\prime\prime} \cdot X^\prime}{A} $$ $$ \sin(\alpha) = \frac{E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - E^\prime \cdot X^\prime}{A} $$

• Подставим переменные, разделив уравнение на [math]A[/math]:

$$ \cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{L \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

• Записанное слева — косинус разности:

$$ \cos(\psi - \alpha) = \frac{L \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

• Решим относительно [math]\psi[/math]:

$$ \psi = \alpha \pm acos \left( \frac{L \cdot K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z} $$

• [math]I_a[/math] находится из первого уравнения системы 7.