Моделирование дуговых поперечных несимметричных режимов в RastrWin — различия между версиями

Материал из Wiki Power System
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Двухфазное КЗ на землю)
(→‎Общая часть)
 
(не показано 11 промежуточных версий этого же участника)
Строка 5: Строка 5:
  
 
= Оценка сопротивления дуги =
 
= Оценка сопротивления дуги =
−
 
+
[[Файл:Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.png|thumb|400px|Рисунок 1. Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.]]
 
По расчётным данным металлического короткого замыкания можно оценить сопротивление дуги с учётом того, что:
 
По расчётным данным металлического короткого замыкания можно оценить сопротивление дуги с учётом того, что:
−
* Есть только переодическая состовляющая тока короткого замыкания.
+
* Есть только периодическая составляющая тока короткого замыкания.
 
* Сопротивление дуги с течением времени постоянно.
 
* Сопротивление дуги с течением времени постоянно.
 
* ЭДС совпадает по направлению с осью действительных чисел.
 
* ЭДС совпадает по направлению с осью действительных чисел.
Строка 41: Строка 41:
  
 
==Трехфазное КЗ==
 
==Трехфазное КЗ==
−
[[Файл:Трехфазное КЗ через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 1. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).]]
+
[[Файл:Трехфазное КЗ через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).]]
  
 
Система для решения:  
 
Система для решения:  
Строка 67: Строка 67:
  
 
==Однофазное КЗ==
 
==Однофазное КЗ==
−
[[Файл:Однофазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).]]
+
[[Файл:Однофазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).]]
  
 
Система для решения:  
 
Система для решения:  
Строка 93: Строка 93:
  
 
==Двухфазное КЗ на землю==
 
==Двухфазное КЗ на землю==
−
[[Файл:Двухфазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).]]
+
[[Файл:Двухфазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).]]
  
 
Система для решения:  
 
Система для решения:  
Строка 119: Строка 119:
  
 
==Общая часть==
 
==Общая часть==
−
Одщая система для решения:  
+
Общая система для решения:  
 
$$
 
$$
 
\left\{
 
\left\{
Строка 210: Строка 210:
 
$$
 
$$
  
−
* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы
+
* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы:
 
$$
 
$$
 
\left\{\begin{array}{@{}B@{}}
 
\left\{\begin{array}{@{}B@{}}
Строка 218: Строка 218:
 
$$
 
$$
  
−
* И подставляется в выражение  
+
* И подставляется в выражение:
 
$$
 
$$
 
R_a = \frac{K}{I_a}
 
R_a = \frac{K}{I_a}
Строка 225: Строка 225:
 
= Короткие замыкания без земли =
 
= Короткие замыкания без земли =
  
−
[[Файл:ИМоделирование поперечной несимметрии при К(2).svg|thumb|500px|Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).]]
+
==Двухфазное КЗ==
  
−
==Двухфазное КЗ==
+
[[Файл:Междуфазное КЗ через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 5. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).]]
  
 
Система для решения:
 
Система для решения:
Строка 241: Строка 241:
 
* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
 
* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
 
$$
 
$$
−
L =\frac{1}{\sqrt{3}}
+
K =\frac{U \cdot L}{2}
 +
$$
 +
$$
 +
B =\frac{1}{\sqrt{3}}
 
$$
 
$$
 
$$
 
$$
Строка 253: Строка 256:
  
 
$$
 
$$
−
E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = j\cdot L \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
+
E = j\cdot B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
 
$$
 
$$
  
−
* Внесём <math>I_a</math> в скобки и разделим обе части на <math>(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi))</math>:
+
* Внесём <math>I_a</math> в скобки и разделим обе части на <math>(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))</math>:
  
 
$$
 
$$
−
\frac{E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}}{\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi)} = j \cdot L \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
+
\frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = j \cdot B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
 
$$
 
$$
  
Строка 265: Строка 268:
  
 
$$
 
$$
−
(E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}) \cdot (\cos(\psi) - j \cdot \sin(\psi)) = j \cdot L \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - L \cdot I_a \cdot X^\prime
+
E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = j \cdot B \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - B \cdot I_a \cdot X^\prime
 
$$
 
$$
  
Строка 272: Строка 275:
 
$$
 
$$
 
\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
 
\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
−
\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = - L \cdot I_a \cdot X^\prime, \\
+
\cos(\varphi)  \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\
−
-\sin(\psi)  \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime}  = L \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right)
+
-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right)
 
\end{array}\right.
 
\end{array}\right.
 
$$
 
$$
Строка 279: Строка 282:
 
* Выразим <math>I_a</math> из первого уравнения:
 
* Выразим <math>I_a</math> из первого уравнения:
 
$$
 
$$
−
I_a = -\sin(\psi)  \cdot \frac{E^{\prime\prime}}{L \cdot X^\prime} - \cos(\psi) \cdot \frac{E^\prime}{L \cdot X^\prime}
+
I_a = - \cos(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime}
 
$$
 
$$
  
Строка 285: Строка 288:
  
 
$$
 
$$
−
-\sin(\psi)  \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime}  = L \cdot K - L \cdot \sin(\psi)  \cdot \frac{E^{\prime\prime} \cdot R^\prime}{L \cdot X^\prime} - L \cdot \cos(\psi) \cdot \frac{E^\prime \cdot R^\prime}{L \cdot X^\prime}
+
-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot K - B \cdot \cos(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime}
 
$$
 
$$
  
Строка 291: Строка 294:
  
 
$$
 
$$
−
-\sin(\psi)  \cdot E^\prime \cdot X^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot X^\prime = L \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - \cos(\psi) \cdot E^\prime \cdot R^\prime
+
-\sin(\varphi)  \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime
 
$$
 
$$
  
 
$$
 
$$
−
\cos(\psi) \cdot (E^\prime \cdot R^\prime + E^{\prime\prime} \cdot X^\prime) + \sin(\psi) \cdot (E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - E^\prime \cdot X^\prime) = L \cdot K \cdot X^\prime
+
\cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime
 
$$
 
$$
  
Строка 301: Строка 304:
  
 
$$
 
$$
−
A = \sqrt{(E^\prime \cdot R^\prime + E^{\prime\prime} \cdot X^\prime)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - E^\prime \cdot X^\prime)^2}
+
A = \sqrt{(E \cdot R^\prime)^2 + (E \cdot X^\prime)^2}
−
= \sqrt{(E^\prime \cdot R^\prime)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot X^\prime)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot R^\prime)^2 + (E^\prime \cdot X^\prime)^2}
 
 
$$
 
$$
  
 
$$
 
$$
−
\alpha = atan2\left( (E^\prime \cdot R^\prime + E^{\prime\prime} \cdot X^\prime), (E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - E^\prime \cdot X^\prime) \right)
+
\alpha = atan2\left( (E \cdot X^\prime), (E \cdot R^\prime) \right)
 
$$
 
$$
  
 
$$
 
$$
−
\cos(\alpha) = \frac{E^\prime \cdot R^\prime + E^{\prime\prime} \cdot X^\prime}{A}
+
\cos(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A}
 
$$
 
$$
 
$$
 
$$
−
\sin(\alpha) = \frac{E^{\prime\prime} \cdot R^\prime - E^\prime \cdot X^\prime}{A}
+
\sin(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A}
 
$$
 
$$
  
Строка 319: Строка 321:
  
 
$$
 
$$
−
\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{L \cdot K \cdot X^\prime}{A}
+
\cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) - \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
 
$$
 
$$
  
 
* Записанное слева — косинус разности:
 
* Записанное слева — косинус разности:
 
$$
 
$$
−
\cos(\psi - \alpha) = \frac{L \cdot K \cdot X^\prime}{A}
+
\cos(\varphi + \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
 
$$
 
$$
  
−
* Решим относительно <math>\psi</math>:
+
* Решим относительно <math>\varphi</math>:
  
 
$$
 
$$
−
\psi = \alpha \pm acos \left( \frac{L \cdot  K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
+
\varphi = - \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot  K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
 
$$
 
$$
  
−
* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.
+
* <math>I_a</math> находится из второго уравнения системы:
 +
$$
 +
\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
 +
\cos(\varphi)  \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\
 +
-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right)
 +
\end{array}\right.
 +
$$
 +
 
 +
* И подставляется в выражение:
 +
$$
 +
R_a = \frac{K}{I_a}
 +
$$

Текущая версия на 21:18, 7 апреля 2023

Nuvola apps important blue.svg Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.


В статье описан подход к моделированию поперечных несимметричных режимов в ПК RastrWin. Такие модели необходимы для расчётов дуговых коротких замыканий.

Оценка сопротивления дуги

Рисунок 1. Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.

По расчётным данным металлического короткого замыкания можно оценить сопротивление дуги с учётом того, что:

  • Есть только периодическая составляющая тока короткого замыкания.
  • Сопротивление дуги с течением времени постоянно.
  • ЭДС совпадает по направлению с осью действительных чисел.

Для каждого вида короткого замыкания можно вывести уравнение для оценки сопротивления дуги.

Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный [math]I_a[/math] по модулю.

Неизвестные: [math]R_a, I_a[/math]

Обозначения: $$ \dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right), $$

$$ \dot{E} = E, $$

$$ \dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0, $$

$$ \dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1, $$

$$ \dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2. $$

Короткие замыкания на землю

Трехфазное КЗ

Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\ R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

  • Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = U \cdot L $$ $$ B = 1 $$ $$ R^\prime = R_1 $$ $$ X^\prime = X_1 $$

Однофазное КЗ

Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\ R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

  • Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = U \cdot L $$ $$ B = \frac{1}{3} $$ $$ R^\prime = R_0 + R_1 + R_2 $$ $$ X^\prime = X_0 + X_1 + X_2 $$

Двухфазное КЗ на землю

Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(2 \cdot R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\ 2 \cdot R_a = \frac{2 \cdot U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

  • Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = 2 \cdot U \cdot L $$ $$ B = - \frac{1}{3} $$ $$ R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}} $$ $$ X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}} $$

Общая часть

Общая система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = B \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + R^\prime + j \cdot X^\prime), \\ R_a = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Решение:

$$ E = B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right) $$

  • Внесём [math]I_a[/math] в скобки и разделим обе части на [math](\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))[/math]:

$$ \frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

  • Преобразуем:

$$ E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

  • Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$ \left\{\begin{array}{@{}B@{}} \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime \end{array}\right. $$

  • Выразим [math]I_a[/math] из второго уравнения:

$$ I_a = -\sin(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime} $$

  • Подставим [math]I_a[/math] в первое уравнение:

$$ \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot K - B \cdot \sin(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime} $$

  • Домножим на [math]X^\prime[/math], приведем подобные:

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime $$

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime + \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime $$

  • Введем переменные:

$$ A = \sqrt{(E \cdot X^\prime)^2 + (E \cdot R^\prime)^2} $$

$$ \alpha = atan2\left( (E \cdot R^\prime), (E \cdot X^\prime) \right) $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A} $$ $$ \sin(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A} $$

  • Подставим переменные, разделив уравнение на [math]A[/math]:

$$ \cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

  • Записанное слева — косинус разности:

$$ \cos(\varphi - \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

  • Решим относительно [math]\varphi[/math]:

$$ \varphi = \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z} $$

  • [math]I_a[/math] находится из первого уравнения системы:

$$ \left\{\begin{array}{@{}B@{}} \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime \end{array}\right. $$

  • И подставляется в выражение:

$$ R_a = \frac{K}{I_a} $$

Короткие замыкания без земли

Двухфазное КЗ

Рисунок 5. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).

Система для решения:

$$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot (\frac{R_a}{2} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\ \frac{R_a}{2} = \frac{U \cdot L}{2 \cdot I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

  • Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K =\frac{U \cdot L}{2} $$ $$ B =\frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ R^\prime = R_1 + R_2 $$ $$ X^\prime = X_1 + X_2 $$

Решение:

$$ E = j\cdot B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right) $$

  • Внесём [math]I_a[/math] в скобки и разделим обе части на [math](\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))[/math]:

$$ \frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = j \cdot B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

  • Преобразуем:

$$ E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = j \cdot B \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - B \cdot I_a \cdot X^\prime $$

  • Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$ \left\{\begin{array}{@{}l@{}} \cos(\varphi) \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) \end{array}\right. $$

  • Выразим [math]I_a[/math] из первого уравнения:

$$ I_a = - \cos(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime} $$

  • Подставим [math]I_a[/math] во второе уравнение:

$$ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot K - B \cdot \cos(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime} $$

  • Домножим на [math]X^\prime[/math], приведем подобные:

$$ -\sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime $$

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime $$

  • Введем переменные:

$$ A = \sqrt{(E \cdot R^\prime)^2 + (E \cdot X^\prime)^2} $$

$$ \alpha = atan2\left( (E \cdot X^\prime), (E \cdot R^\prime) \right) $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A} $$ $$ \sin(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A} $$

  • Подставим переменные, разделив уравнение на [math]A[/math]:

$$ \cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) - \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

  • Записанное слева — косинус разности:

$$ \cos(\varphi + \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

  • Решим относительно [math]\varphi[/math]:

$$ \varphi = - \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z} $$

  • [math]I_a[/math] находится из второго уравнения системы:

$$ \left\{\begin{array}{@{}l@{}} \cos(\varphi) \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) \end{array}\right. $$

  • И подставляется в выражение:

$$ R_a = \frac{K}{I_a} $$

Источник — «https://powersystem.info/index.php?title=Моделирование_дуговых_поперечных_несимметричных_режимов_в_RastrWin&oldid=4303»