Текущая версия на 21:18, 7 апреля 2023

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

В статье описан подход к моделированию поперечных несимметричных режимов в ПК RastrWin. Такие модели необходимы для расчётов дуговых коротких замыканий.

Содержание

1 Оценка сопротивления дуги
2 Короткие замыкания на землю
3 Короткие замыкания без земли
- 3.1 Двухфазное КЗ

Оценка сопротивления дуги

Рисунок 1. Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.

По расчётным данным металлического короткого замыкания можно оценить сопротивление дуги с учётом того, что:

Есть только периодическая составляющая тока короткого замыкания.
Сопротивление дуги с течением времени постоянно.
ЭДС совпадает по направлению с осью действительных чисел.

Для каждого вида короткого замыкания можно вывести уравнение для оценки сопротивления дуги.

Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный [math]I_a[/math] по модулю.

Неизвестные: [math]R_a, I_a[/math]

Обозначения: $$ \dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right), $$

$$ \dot{E} = E, $$

$$ \dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0, $$

$$ \dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1, $$

$$ \dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2. $$

Короткие замыкания на землю

Трехфазное КЗ

Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\ R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = U \cdot L $$ $$ B = 1 $$ $$ R^\prime = R_1 $$ $$ X^\prime = X_1 $$

Однофазное КЗ

Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\ R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = U \cdot L $$ $$ B = \frac{1}{3} $$ $$ R^\prime = R_0 + R_1 + R_2 $$ $$ X^\prime = X_0 + X_1 + X_2 $$

Двухфазное КЗ на землю

Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(2 \cdot R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\ 2 \cdot R_a = \frac{2 \cdot U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = 2 \cdot U \cdot L $$ $$ B = - \frac{1}{3} $$ $$ R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}} $$ $$ X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}} $$

Общая часть

Общая система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = B \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + R^\prime + j \cdot X^\prime), \\ R_a = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Решение:

$$ E = B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right) $$

Внесём [math]I_a[/math] в скобки и разделим обе части на [math](\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))[/math]:

$$ \frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

Преобразуем:

$$ E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$ \left\{\begin{array}{@{}B@{}} \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime \end{array}\right. $$

Выразим [math]I_a[/math] из второго уравнения:

$$ I_a = -\sin(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime} $$

Подставим [math]I_a[/math] в первое уравнение:

$$ \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot K - B \cdot \sin(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime} $$

Домножим на [math]X^\prime[/math], приведем подобные:

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime $$

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime + \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime $$

Введем переменные:

$$ A = \sqrt{(E \cdot X^\prime)^2 + (E \cdot R^\prime)^2} $$

$$ \alpha = atan2\left( (E \cdot R^\prime), (E \cdot X^\prime) \right) $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A} $$ $$ \sin(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A} $$

Подставим переменные, разделив уравнение на [math]A[/math]:

$$ \cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

Записанное слева — косинус разности:

$$ \cos(\varphi - \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

Решим относительно [math]\varphi[/math]:

$$ \varphi = \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z} $$

[math]I_a[/math] находится из первого уравнения системы:

$$ \left\{\begin{array}{@{}B@{}} \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime \end{array}\right. $$

И подставляется в выражение:

$$ R_a = \frac{K}{I_a} $$

Короткие замыкания без земли

Двухфазное КЗ

Рисунок 5. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).

Система для решения:

$$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot (\frac{R_a}{2} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\ \frac{R_a}{2} = \frac{U \cdot L}{2 \cdot I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K =\frac{U \cdot L}{2} $$ $$ B =\frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ R^\prime = R_1 + R_2 $$ $$ X^\prime = X_1 + X_2 $$

Решение:

$$ E = j\cdot B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right) $$

Внесём [math]I_a[/math] в скобки и разделим обе части на [math](\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))[/math]:

$$ \frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = j \cdot B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

Преобразуем:

$$ E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = j \cdot B \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - B \cdot I_a \cdot X^\prime $$

Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$ \left\{\begin{array}{@{}l@{}} \cos(\varphi) \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) \end{array}\right. $$

Выразим [math]I_a[/math] из первого уравнения:

$$ I_a = - \cos(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime} $$

Подставим [math]I_a[/math] во второе уравнение:

$$ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot K - B \cdot \cos(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime} $$

Домножим на [math]X^\prime[/math], приведем подобные:

$$ -\sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime $$

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime $$

Введем переменные:

$$ A = \sqrt{(E \cdot R^\prime)^2 + (E \cdot X^\prime)^2} $$

$$ \alpha = atan2\left( (E \cdot X^\prime), (E \cdot R^\prime) \right) $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A} $$ $$ \sin(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A} $$

Подставим переменные, разделив уравнение на [math]A[/math]:

$$ \cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) - \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

Записанное слева — косинус разности:

$$ \cos(\varphi + \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

Решим относительно [math]\varphi[/math]:

$$ \varphi = - \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z} $$

[math]I_a[/math] находится из второго уравнения системы:

$$ \left\{\begin{array}{@{}l@{}} \cos(\varphi) \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) \end{array}\right. $$

И подставляется в выражение:

$$ R_a = \frac{K}{I_a} $$

Моделирование дуговых поперечных несимметричных режимов в RastrWin — различия между версиями

Текущая версия на 21:18, 7 апреля 2023

Содержание

Оценка сопротивления дуги

Короткие замыкания на землю

Трехфазное КЗ

Однофазное КЗ

Двухфазное КЗ на землю

Общая часть

Короткие замыкания без земли

Двухфазное КЗ

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 = Оценка сопротивления дуги =
+[[Файл:Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.png|thumb|400px|Рисунок 1. Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.]]
 По расчётным данным металлического короткого замыкания можно оценить сопротивление дуги с учётом того, что:
-* Есть только переодическая состовляющая тока короткого замыкания.
+* Есть только периодическая составляющая тока короткого замыкания.
 * Сопротивление дуги с течением времени постоянно.
+* ЭДС совпадает по направлению с осью действительных чисел.
 Для каждого вида короткого замыкания можно вывести уравнение для оценки сопротивления дуги.
-== Трёхфазные замыкания==
+Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
-[[Файл:Моделирование поперечной несимметрии при К(3).svg|thumb|500px|Рисунок 1. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).]]
-Пусть дуга это просто три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
+Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
 Обозначения:
 $$
-\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right),
+\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right),
 $$
 $$
-\dot{E} = E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}
+\dot{E} = E,
 $$
 $$
-\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1
+\dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0,
 $$
-. Система для решения:
 $$
-\left\{
+\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1,
-\begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\
-R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
-\end{array}\right.
 $$
-. Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
-. Решение:
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое
 $$
-\dot{E} = \dot{I}_a \cdot \left(\frac{K}{I_a} + \dot{Z}_1 \right)
+\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2.
 $$
-* Подставим величины из обозначений:
+=Короткие замыкания на землю=
-$$
+==Трехфазное КЗ==
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R_1 + j \cdot X_1 \right)
+[[Файл:Трехфазное КЗ через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).]]
-$$
-* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
+Система для решения:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+\left\{
-E^\prime = I_a \cdot \left(\cos(\psi)  \cdot (\frac{K}{I_a} + R_1) - \sin(\psi) \cdot X_1 \right), \\
+\begin{array}{@{}l@{}}
-E^{\prime\prime} = I_a \cdot \left(\sin(\psi) \cdot (\frac{K}{I_a} + R_1) + \cos(\psi) \cdot X_1 \right)
+\dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\
+R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
 \end{array}\right.
 $$
-* Раскроем оставшиеся скобки:
+* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+K = U \cdot L
-E^\prime = \cos(\psi)  \cdot (K + I_a \cdot R_1) - \sin(\psi) \cdot I_a \cdot X_1 , \\
-E^{\prime\prime} = \sin(\psi) \cdot (K + I_a \cdot R_1) + \cos(\psi) \cdot I_a \cdot X_1
-\end{array}\right.
 $$
-* Перепишем в виде СЛУ:
 $$
-\begin{bmatrix}
+B = 1
-E^\prime \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R_1 \\
-I_a \cdot X_1 \\
-\end{bmatrix}
 $$
-* Заметим ортогональную матрицу (можно было сделать еще в комплексной форме):
 $$
-\begin{bmatrix}
+R^\prime = R_1
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-^{-1}
-=
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
 $$
-* Решение системы:
 $$
-\begin{bmatrix}
+X^\prime = X_1
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-E^{\prime} \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R_1 \\
-I_a \cdot X_1 \\
-\end{bmatrix}
 $$
-* Запишем в виде системы:
+==Однофазное КЗ==
+[[Файл:Однофазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).]]
-$$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = K + I_a \cdot R_1 , \\
--\sin(\psi)  \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime}  = I_a \cdot X_1
-\end{array}\right.
-$$
-* Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
-$$
-I_a = -\sin(\psi)  \cdot \frac{E^\prime}{X_1} + \cos(\psi) \cdot \frac{E^{\prime\prime}}{X_1}
-$$
-* Подставим <math>I_a</math> в первое уравнение:
-$$
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = K - \sin(\psi)  \cdot \frac{E^\prime \cdot R_1}{X_1} + \cos(\psi) \cdot \frac{E^{\prime\prime} \cdot R_1}{X_1}
-$$
-* Домножим на <math>X_1</math>, приведем подобные:
-$$
-\cos(\psi) \cdot E^\prime \cdot X_1 + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot X_1 = K \cdot X_1 - \sin(\psi) \cdot E^\prime \cdot R_1 + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot R_1
-$$
-$$
-\cos(\psi) \cdot (E^\prime \cdot X_1 - E^{\prime\prime} \cdot R_1) + \sin(\psi) \cdot (E^{\prime\prime} \cdot X_1 + E^\prime \cdot R_1) = K \cdot X_1
-$$
-* Введем переменные:
-$$
-A = \sqrt{(E^\prime \cdot X_1 - E^{\prime\prime} \cdot R_1)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot X_1 + E^\prime \cdot R_1)^2}
-= \sqrt{(E^\prime \cdot X_1)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot R_1)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot X_1)^2 + (E^\prime \cdot R_1)^2}
-$$
-$$
-\alpha = atan2\left( (E^\prime \cdot X_1 - E^{\prime\prime} \cdot R_1), (E^{\prime\prime} \cdot X_1 + E^\prime \cdot R_1) \right)
-$$
-$$
-\cos(\alpha) = \frac{E^\prime \cdot X_1 - E^{\prime\prime} \cdot R_1}{A}
-$$
-$$
-\sin(\alpha) = \frac{E^{\prime\prime} \cdot X_1 + E^\prime \cdot R_1}{A}
-$$
-* Подставим переменные, разделив уравнение на <math>A</math>:
-$$
-\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{K \cdot X_1}{A}
-$$
-* Записанное слева — косинус разности:
-$$
-\cos(\psi - \alpha) = \frac{K \cdot X_1}{A}
-$$
-* Решим относительно <math>\psi</math>:
-$$
-\psi = \alpha \pm acos \left( \frac{K \cdot X_1}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
-$$
-* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.
-== Однофазные замыкания ==
-[[Файл:Поперечная несимметрия К(1).svg|thumb|500px|Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).]]
-Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
-Обозначения:
-$$
-\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right),
-$$
-$$
-\dot{E} = E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}
-$$
-$$
-\dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0
-$$
-$$
-\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1
-$$
-$$
-\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2
-$$
-. Система для решения:
+Система для решения:
 $$
 \left\{
@@ Строка 229: / Строка 78: @@
 $$
-. Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
+* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
-. Решение:
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое
 $$
-\dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(\frac{K}{I_a} + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2\right)
+K = U \cdot L
 $$
-* Подставим величины из обозначений:
 $$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = \frac{1}{3} \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R_0 + j \cdot X_0 + R_1 + j \cdot X_1 + R_2 + j \cdot X_2 \right)
+B = \frac{1}{3}
 $$
-* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+R^\prime = R_0 + R_1 + R_2
-E^\prime = \frac{1}{3} I_a \cdot \left(\cos(\psi)  \cdot (\frac{K}{I_a} + R_0 + R_1 + R_2) - \sin(\psi) \cdot (X_0 + X_1 + X_2) \right), \\
-E^{\prime\prime} = \frac{1}{3} I_a \cdot \left(\sin(\psi) \cdot (\frac{K}{I_a} + R_0 + R_1 + R_2) + \cos(\psi) \cdot (X_0 + X_1 + X_2) \right)
-\end{array}\right.
 $$
-* Раскроем оставшиеся скобки:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+X^\prime = X_0 + X_1 + X_2
-\cdot E^\prime = \cos(\psi)  \cdot (K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) - \sin(\psi) \cdot I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2) , \\
-\cdot E^{\prime\prime} = \sin(\psi) \cdot (K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) + \cos(\psi) \cdot I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2)
-\end{array}\right.
 $$
-* Перепишем в виде СЛУ:
+==Двухфазное КЗ на землю==
+[[Файл:Двухфазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).]]
+Система для решения:
 $$
-\begin{bmatrix}
+\left\{
-E^\prime \\
+\begin{array}{@{}l@{}}
-E^{\prime\prime} \\
+\dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(2 \cdot R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\
-\end{bmatrix}
+\cdot R_a = \frac{2 \cdot U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
-=
-\frac{1}{3}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2) \\
-I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Заметим ортогональную матрицу (можно было сделать еще в комплексной форме):
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-^{-1}
-=
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Решение системы:
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-E^{\prime} \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\frac{1}{3}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2) \\
-I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Запишем в виде системы:
-$$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = \frac{1}{3} \left(K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2)\right) , \\
--\sin(\psi)  \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime}  = \frac{1}{3} I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2)
 \end{array}\right.
-$$
-* Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
-$$
-I_a = -\sin(\psi)  \cdot \frac{3 E^\prime}{X_0 + X_1 + X_2} + \cos(\psi) \cdot \frac{3 E^{\prime\prime}}{X_0 + X_1 + X_2}
 $$
-* Подставим <math>I_a</math> в первое уравнение:
+* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
 $$
-\cos(\psi)  \cdot 3 E^\prime + \sin(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} = K - \sin(\psi)  \cdot \frac{3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2)}{X_0 + X_1 + X_2} + \cos(\psi) \cdot \frac{3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)}{X_0 + X_1 + X_2}
+K = 2 \cdot U \cdot L
 $$
-* Домножим на <math>X_0 + X_1 + X_2</math>, приведем подобные:
 $$
-\cos(\psi) \cdot 3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + \sin(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) = K \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - \sin(\psi) \cdot 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2) + \cos(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)
+B = - \frac{1}{3}
 $$
 $$
-\cos(\psi) \cdot (3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) + \sin(\psi) \cdot (3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) = K \cdot (X_0 + X_1 + X_2)
+R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
 $$
-* Введем переменные:
 $$
-A = \sqrt{(3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2))^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2))^2}
+X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
-= \sqrt{(3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2))^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2))^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2))^2 + (3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2))^2}
 $$
-$$
+==Общая часть==
-\alpha = atan2\left( (3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)), (3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) \right)
+Общая система для решения:
-$$
-$$
-\cos(\alpha) = \frac{3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)}{A}
-$$
-$$
-\sin(\alpha) = \frac{3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2)}{A}
-$$
-* Подставим переменные, разделив уравнение на <math>A</math>:
-$$
-\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{K \cdot (X_0 + X_1 + X_2)}{A}
-$$
-* Записанное слева — косинус разности:
-$$
-\cos(\psi - \alpha) = \frac{K \cdot (X_0 + X_1 + X_2)}{A}
-$$
-* Решим относительно <math>\psi</math>:
-$$
-\psi = \alpha \pm acos \left( \frac{K \cdot (X_0 + X_1 + X_2)}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
-$$
-* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.
-== Двухфазные замыкания без земли ==
-[[Файл:ИМоделирование поперечной несимметрии при К(2).svg|thumb|500px|Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).]]
-Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
-Обозначения:
-$$
-\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right),
-$$
-$$
-\dot{E} = E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}
-$$
-$$
-\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1
-$$
-$$
-\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2
-$$
-. Система для решения:
 $$
 \left\{
 \begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot (\frac{R_a}{2} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\
+\dot{E} = B \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + R^\prime + j \cdot X^\prime), \\
-\frac{R_a}{2} = \frac{U \cdot L}{2 \cdot I_a} = \frac{K}{I_a}
+R_a = \frac{K}{I_a}
 \end{array}\right.
 $$
-. Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
+Решение:
-. Решение:
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое
 $$
-\dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(\frac{K}{I_a} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2 \right)
+E = B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
 $$
-* Подставим величины из обозначений:
+* Внесём <math>I_a</math> в скобки и разделим обе части на <math>(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))</math>:
 $$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R_1 + j \cdot X_1 + R_2 + j \cdot X_2 \right)
+\frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
 $$
-* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
+* Преобразуем:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
-E^\prime = \frac{1}{\sqrt{3}} I_a \cdot \left( - \sin(\psi)  \cdot (\frac{K}{I_a} + R_1 + R_2) - \cos(\psi) \cdot (X_1 + X_2) \right), \\
-E^{\prime\prime} = \frac{1}{\sqrt{3}} I_a \cdot \left(\cos(\psi) \cdot (\frac{K}{I_a} + R_1 + R_2) - \sin(\psi) \cdot (X_1 + X_2) \right)
-\end{array}\right.
 $$
-* Раскроем оставшиеся скобки:
+* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+\left\{\begin{array}{@{}B@{}}
-\sqrt{3} \cdot E^\prime = - \sin(\psi)  \cdot (K + I_a \cdot (R_1 + R_2)) - \cos(\psi) \cdot I_a \cdot (X_1 + X_2) , \\
+\cos(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\
-\sqrt{3} \cdot E^{\prime\prime} = \cos(\psi) \cdot (K + I_a \cdot (R_1 + R_2)) - \sin(\psi) \cdot I_a \cdot (X_1 + X_2)
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime
 \end{array}\right.
 $$
-* Перепишем в виде СЛУ:
-$$
-\begin{bmatrix}
-E^\prime \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\frac{1}{\sqrt{3}}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
--\sin(\psi) & - \cos(\psi) \\
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot (R_1 + R_2) \\
-I_a \cdot (X_1 + X_2) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Заметим ортогональную матрицу (можно было сделать еще в комплексной форме):
-$$
-\begin{bmatrix}
--\sin(\psi) & - \cos(\psi) \\
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-^{-1}
-=
-\begin{bmatrix}
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
--\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Решение системы:
-$$
-\begin{bmatrix}
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
--\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-E^{\prime} \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\frac{1}{\sqrt{3}}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot (R_1 + R_2) \\
-I_a \cdot (X_1 + X_2) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Запишем в виде системы:
-$$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
--\sin(\psi)  \cdot \sqrt{3} E^\prime + \cos(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime} = K + I_a \cdot (R_1 + R_2) , \\
--\cos(\psi)  \cdot \sqrt{3} E^\prime - \sin(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime}  = I_a \cdot (X_1 + X_2)
-\end{array}\right.
-$$
 * Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
 $$
-I_a = -\cos(\psi)  \cdot \frac{\sqrt{3} E^\prime}{(X_1 + X_2)} - \sin(\psi) \cdot \frac{\sqrt{3} E^{\prime\prime}}{(X_1 + X_2)}
+I_a = -\sin(\varphi)  \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime}
 $$
@@ Строка 528: / Строка 163: @@
 $$
--\sin(\psi)  \cdot \sqrt{3} E^\prime + \cos(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime} = K - \cos(\psi)  \cdot \frac{\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2)}{X_1 + X_2} - \sin(\psi) \cdot \frac{\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2)}{X_1 + X_2}
+\cos(\varphi)  \cdot E = B \cdot K - B \cdot \sin(\varphi)  \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime}
 $$
-* Домножим на <math>X_1 + X_2</math>, приведем подобные:
+* Домножим на <math>X^\prime</math>, приведем подобные:
 $$
--\sin(\psi)  \cdot \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2) + \cos(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2) = K \cdot (X_1 + X_2) - \cos(\psi) \cdot \sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) - \sin(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2)
+\cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime
 $$
 $$
-\cos(\psi) \cdot (\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) + \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2)) + \sin(\psi) \cdot (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2) - \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2)) = K \cdot (X_1 + X_2)
+\cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime + \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime
 $$
@@ Строка 544: / Строка 179: @@
 $$
-A = \sqrt{(\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) + \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2))^2 + (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2) - \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2))^2}
+A = \sqrt{(E \cdot X^\prime)^2 + (E \cdot R^\prime)^2}
-= \sqrt{(\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2))^2 + (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2))^2 + (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2))^2 + (\sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2))^2}
 $$
 $$
-\alpha = atan2\left( (\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) + \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2)), (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2) - \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2)) \right)
+\alpha = atan2\left( (E \cdot R^\prime), (E \cdot X^\prime) \right)
 $$
 $$
-\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) + \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2)}{A}
+\cos(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A}
 $$
 $$
-\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2) - \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2)}{A}
+\sin(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A}
 $$
@@ Строка 562: / Строка 196: @@
 $$
-\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{K \cdot (X_1 + X_2)}{A}
+\cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
 $$
 * Записанное слева — косинус разности:
 $$
-\cos(\psi - \alpha) = \frac{K \cdot (X_1 + X_2)}{A}
+\cos(\varphi - \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
 $$
-* Решим относительно <math>\psi</math>:
+* Решим относительно <math>\varphi</math>:
 $$
-\psi = \alpha \pm acos \left( \frac{K \cdot (X_1 + X_2)}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
+\varphi = \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot  K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
 $$
-* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.
+* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы:
-== Двухфазные замыкания на землю ==
-[[Файл:Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).svg|thumb|500px|Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).]]
-Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
-Обозначения:
 $$
-\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right),
+\left\{\begin{array}{@{}B@{}}
+\cos(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime
+\end{array}\right.
 $$
+* И подставляется в выражение:
 $$
-\dot{E} = E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}
+R_a = \frac{K}{I_a}
 $$
-$$
+= Короткие замыкания без земли =
-\dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0
-$$
-$$
+==Двухфазное КЗ==
-\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1
-$$
-$$
+[[Файл:Междуфазное КЗ через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 5. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).]]
-\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2
-$$
-. Система для решения:
+Система для решения:
 $$
 \left\{
 \begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\
+\dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot (\frac{R_a}{2} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\
-R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
+\frac{R_a}{2} = \frac{U \cdot L}{2 \cdot I_a} = \frac{K}{I_a}
 \end{array}\right.
 $$
-. Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
+* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
-. Решение:
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое
 $$
-\dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(\frac{K}{I_a} + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right)
+K =\frac{U \cdot L}{2}
 $$
-* Подставим величины из обозначений:
 $$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = - \frac{1}{3} \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R_0 + j \cdot X_0 + R_1 + j \cdot X_1 +\frac{(R_0 + j \cdot X_0) \cdot (R_1 + j \cdot X_1)}{R_2 + j \cdot X_2} \right)
+B =\frac{1}{\sqrt{3}}
 $$
-* Раскроем скобки, разделим действительную и мнимую составляющие сопротивлений, связанных с симметричными составляющими:
 $$
-R^\prime + j \cdot X^\prime = R_0 + j \cdot X_0 + R_1 + j \cdot X_1 +\frac{(R_0 + j \cdot X_0) \cdot (R_1 + j \cdot X_1)}{R_2 + j \cdot X_2}
+R^\prime = R_1 + R_2
 $$
 $$
-R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
+X^\prime = X_1 + X_2
 $$
-$$
+Решение:
-X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
-$$
 $$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = - \frac{1}{3} \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
+E = j\cdot B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
 $$
-* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
+* Внесём <math>I_a</math> в скобки и разделим обе части на <math>(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))</math>:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+\frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = j \cdot B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
-E^\prime = - \frac{1}{3} I_a \cdot \left(\cos(\psi)  \cdot (\frac{K}{I_a} + R^\prime) - \sin(\psi) \cdot X^\prime \right), \\
-E^{\prime\prime} = - \frac{1}{3} I_a \cdot \left(\sin(\psi) \cdot (\frac{K}{I_a} + R^\prime) + \cos(\psi) \cdot X^\prime \right)
-\end{array}\right.
 $$
-* Раскроем оставшиеся скобки:
+* Преобразуем:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = j \cdot B \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - B \cdot I_a \cdot X^\prime
--3 \cdot E^\prime = \cos(\psi)  \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - \sin(\psi) \cdot I_a \cdot X^\prime , \\
--3 \cdot E^{\prime\prime} = \sin(\psi) \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) + \cos(\psi) \cdot I_a \cdot X^\prime
-\end{array}\right.
 $$
-* Перепишем в виде СЛУ:
+* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
-$$
-\begin{bmatrix}
-E^\prime \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
--
-\frac{1}{3}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R^\prime \\
-I_a \cdot X^\prime \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Заметим ортогональную матрицу (можно было сделать еще в комплексной форме):
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-^{-1}
-=
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Решение системы:
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-E^{\prime} \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
--
-\frac{1}{3}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R^\prime \\
-I_a \cdot X^\prime \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Запишем в виде системы:
 $$
 \left\{\begin{array}{@{}l@{}}
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = - \frac{1}{3} \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\
+\cos(\varphi)  \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\
--\sin(\psi)  \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime}  = - \frac{1}{3} I_a \cdot X^\prime
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right)
 \end{array}\right.
 $$
-* Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
+* Выразим <math>I_a</math> из первого уравнения:
 $$
-I_a = \sin(\psi)  \cdot \frac{3 E^\prime}{X^\prime} - \cos(\psi) \cdot \frac{3 E^{\prime\prime}}{X^\prime}
+I_a = - \cos(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime}
 $$
-* Подставим <math>I_a</math> в первое уравнение:
+* Подставим <math>I_a</math> во второе уравнение:
 $$
-- \cos(\psi)  \cdot 3 E^\prime - \sin(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} = K + \sin(\psi)  \cdot \frac{3 E^\prime \cdot R^\prime}{X^\prime} - \cos(\psi) \cdot \frac{3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime}{X^\prime}
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot K - B \cdot \cos(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime}
 $$
@@ Строка 748: / Строка 294: @@
 $$
--\cos(\psi) \cdot 3 E^\prime \cdot X^\prime - \sin(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime = K \cdot X^\prime + \sin(\psi) \cdot 3 E^\prime \cdot R^\prime - \cos(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime
+-\sin(\varphi)  \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime
 $$
 $$
-\cos(\psi) \cdot (3 E^\prime \cdot X^\prime - 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime) + \sin(\psi) \cdot (3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + 3 E^\prime \cdot R^\prime) = - K \cdot X^\prime
+\cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime
 $$
@@ Строка 758: / Строка 304: @@
 $$
-A = \sqrt{(3 E^\prime \cdot X^\prime - 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime)^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + 3 E^\prime \cdot R^\prime)^2}
+A = \sqrt{(E \cdot R^\prime)^2 + (E \cdot X^\prime)^2}
-= \sqrt{(3 E^\prime \cdot X^\prime)^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime)^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime)^2 + (3 E^\prime \cdot R^\prime)^2}
 $$
 $$
-\alpha = atan2\left( (3 E^\prime \cdot X^\prime - 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime), (3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + 3 E^\prime \cdot R^\prime) \right)
+\alpha = atan2\left( (E \cdot X^\prime), (E \cdot R^\prime) \right)
 $$
 $$
-\cos(\alpha) = \frac{3 E^\prime \cdot X^\prime - 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime}{A}
+\cos(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A}
 $$
 $$
-\sin(\alpha) = \frac{3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + 3 E^\prime \cdot R^\prime}{A}
+\sin(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A}
 $$
@@ Строка 776: / Строка 321: @@
 $$
-\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = - \frac{K \cdot X^\prime}{A}
+\cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) - \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
 $$
 * Записанное слева — косинус разности:
 $$
-\cos(\psi - \alpha) = - \frac{K \cdot X^\prime}{A}
+\cos(\varphi + \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
-$$
-* Решим относительно <math>\psi</math>:
-$$
-\psi = \alpha \pm acos \left( - \frac{K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
-$$
-* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.
-= Унификация расчётов для КЗ на землю=
-Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
-Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
-Обозначения:
-$$
-\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right),
 $$
-$$
+* Решим относительно <math>\varphi</math>:
-\dot{E} = E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime},
-$$
-$$
-\dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0,
-$$
 $$
-\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1,
+\varphi = - \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot  K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
 $$
-$$
+* <math>I_a</math> находится из второго уравнения системы:
-\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2.
-$$
-==Трехфазное КЗ==
-Система для решения:
-$$
-\left\{
-\begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\
-R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
-\end{array}\right.
-$$
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
-$$
-L = 1
-$$
-$$
-R^\prime = R_1
-$$
-$$
-X^\prime = X_1
-$$
-==Однофазное КЗ==
-Система для решения:
-$$
-\left\{
-\begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\
-R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
-\end{array}\right.
-$$
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
-$$
-L = \frac{1}{3}
-$$
-$$
-R^\prime = R_0 + R_1 + R_2
-$$
-$$
-X^\prime = X_0 + X_1 + X_2
-$$
-==Двухфазное КЗ на землю==
-Система для решения:
-$$
-\left\{
-\begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(2 \cdot R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\
-\cdot R_a = \frac{2 \cdot U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
-\end{array}\right.
-$$
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
-$$
-L = - \frac{1}{3}
-$$
-$$
-R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
-$$
-$$
-X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
-$$
-==Общая часть==
-Решение:
-$$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = L \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
-$$
-* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
 $$
 \left\{\begin{array}{@{}l@{}}
-E^\prime = L \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi)  \cdot (\frac{K}{I_a} + R^\prime) - \sin(\psi) \cdot X^\prime \right), \\
+\cos(\varphi)  \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\
-E^{\prime\prime} = L \cdot I_a \cdot \left(\sin(\psi) \cdot (\frac{K}{I_a} + R^\prime) + \cos(\psi) \cdot X^\prime \right)
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right)
 \end{array}\right.
 $$
-* Внесём <math>I_a</math> в скобки:
+* И подставляется в выражение:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+R_a = \frac{K}{I_a}
-E^\prime =L \cdot \left( \cos(\psi)  \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - \sin(\psi) \cdot I_a \cdot X^\prime \right), \\
-E^{\prime\prime} = L \cdot \left( \sin(\psi) \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) + \cos(\psi) \cdot I_a \cdot X^\prime\right)
-\end{array}\right.
 $$
-* Перепишем в виде СЛУ:
-$$
-\begin{bmatrix}
-E^\prime \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-L
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R^\prime \\
-I_a \cdot X^\prime \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Заметим ортогональную матрицу (можно было сделать еще в комплексной форме):
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-^{-1}
-=
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Решение системы:
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-E^{\prime} \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-L
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R^\prime \\
-I_a \cdot X^\prime \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Запишем в виде системы:
-$$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = L \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\
--\sin(\psi)  \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime}  = L \cdot I_a \cdot X^\prime
-\end{array}\right.
-$$
-* Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
-$$
-I_a = -\sin(\psi)  \cdot \frac{E^\prime}{L \cdot X^\prime} + \cos(\psi) \cdot \frac{E^{\prime\prime}}{L \cdot X^\prime}
-$$
-* Подставим <math>I_a</math> в первое уравнение:
-$$
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = L \cdot K - L \cdot \sin(\psi)  \cdot \frac{E^\prime \cdot R^\prime}{L \cdot X^\prime} + L \cdot \cos(\psi) \cdot \frac{E^{\prime\prime} \cdot R^\prime}{L \cdot X^\prime}
-$$
-* Домножим на <math>X^\prime</math>, приведем подобные:
-$$
-\cos(\psi) \cdot E^\prime \cdot X^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot X^\prime = L \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\psi) \cdot E^\prime \cdot R^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot R^\prime
-$$
-$$
-\cos(\psi) \cdot (E^\prime \cdot X^\prime - E^{\prime\prime} \cdot R^\prime) + \sin(\psi) \cdot (E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + E^\prime \cdot R^\prime) = L \cdot K \cdot X^\prime
-$$
-* Введем переменные:
-$$
-A = \sqrt{(E^\prime \cdot X^\prime - E^{\prime\prime} \cdot R^\prime)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + E^\prime \cdot R^\prime)^2}
-= \sqrt{(E^\prime \cdot X^\prime)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot R^\prime)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot X^\prime)^2 + (E^\prime \cdot R^\prime)^2}
-$$
-$$
-\alpha = atan2\left( (E^\prime \cdot X^\prime - E^{\prime\prime} \cdot R^\prime), (E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + E^\prime \cdot R^\prime) \right)
-$$
-$$
-\cos(\alpha) = \frac{E^\prime \cdot X^\prime - E^{\prime\prime} \cdot R^\prime}{A}
-$$
-$$
-\sin(\alpha) = \frac{E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + E^\prime \cdot R^\prime}{A}
-$$
-* Подставим переменные, разделив уравнение на <math>A</math>:
-$$
-\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{L \cdot K \cdot X^\prime}{A}
-$$
-* Записанное слева — косинус разности:
-$$
-\cos(\psi - \alpha) = \frac{L \cdot K \cdot X^\prime}{A}
-$$
-* Решим относительно <math>\psi</math>:
-$$
-\psi = \alpha \pm acos \left( \frac{L \cdot  K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
-$$
-* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.