Текущая версия на 21:18, 7 апреля 2023

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

В статье описан подход к моделированию поперечных несимметричных режимов в ПК RastrWin. Такие модели необходимы для расчётов дуговых коротких замыканий.

Содержание

1 Оценка сопротивления дуги
2 Короткие замыкания на землю
3 Короткие замыкания без земли
- 3.1 Двухфазное КЗ

Оценка сопротивления дуги

Рисунок 1. Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.

По расчётным данным металлического короткого замыкания можно оценить сопротивление дуги с учётом того, что:

Есть только периодическая составляющая тока короткого замыкания.
Сопротивление дуги с течением времени постоянно.
ЭДС совпадает по направлению с осью действительных чисел.

Для каждого вида короткого замыкания можно вывести уравнение для оценки сопротивления дуги.

Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный [math]I_a[/math] по модулю.

Неизвестные: [math]R_a, I_a[/math]

Обозначения: $$ \dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right), $$

$$ \dot{E} = E, $$

$$ \dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0, $$

$$ \dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1, $$

$$ \dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2. $$

Короткие замыкания на землю

Трехфазное КЗ

Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\ R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = U \cdot L $$ $$ B = 1 $$ $$ R^\prime = R_1 $$ $$ X^\prime = X_1 $$

Однофазное КЗ

Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\ R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = U \cdot L $$ $$ B = \frac{1}{3} $$ $$ R^\prime = R_0 + R_1 + R_2 $$ $$ X^\prime = X_0 + X_1 + X_2 $$

Двухфазное КЗ на землю

Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).

Система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(2 \cdot R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\ 2 \cdot R_a = \frac{2 \cdot U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K = 2 \cdot U \cdot L $$ $$ B = - \frac{1}{3} $$ $$ R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}} $$ $$ X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}} $$

Общая часть

Общая система для решения: $$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = B \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + R^\prime + j \cdot X^\prime), \\ R_a = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Решение:

$$ E = B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right) $$

Внесём [math]I_a[/math] в скобки и разделим обе части на [math](\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))[/math]:

$$ \frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

Преобразуем:

$$ E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$ \left\{\begin{array}{@{}B@{}} \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime \end{array}\right. $$

Выразим [math]I_a[/math] из второго уравнения:

$$ I_a = -\sin(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime} $$

Подставим [math]I_a[/math] в первое уравнение:

$$ \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot K - B \cdot \sin(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime} $$

Домножим на [math]X^\prime[/math], приведем подобные:

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime $$

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime + \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime $$

Введем переменные:

$$ A = \sqrt{(E \cdot X^\prime)^2 + (E \cdot R^\prime)^2} $$

$$ \alpha = atan2\left( (E \cdot R^\prime), (E \cdot X^\prime) \right) $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A} $$ $$ \sin(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A} $$

Подставим переменные, разделив уравнение на [math]A[/math]:

$$ \cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

Записанное слева — косинус разности:

$$ \cos(\varphi - \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

Решим относительно [math]\varphi[/math]:

$$ \varphi = \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z} $$

[math]I_a[/math] находится из первого уравнения системы:

$$ \left\{\begin{array}{@{}B@{}} \cos(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime \end{array}\right. $$

И подставляется в выражение:

$$ R_a = \frac{K}{I_a} $$

Короткие замыкания без земли

Двухфазное КЗ

Рисунок 5. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).

Система для решения:

$$ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot (\frac{R_a}{2} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\ \frac{R_a}{2} = \frac{U \cdot L}{2 \cdot I_a} = \frac{K}{I_a} \end{array}\right. $$

Подставим [math]R_a[/math] из второго уравнения в первое и выполним замену:

$$ K =\frac{U \cdot L}{2} $$ $$ B =\frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ R^\prime = R_1 + R_2 $$ $$ X^\prime = X_1 + X_2 $$

Решение:

$$ E = j\cdot B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right) $$

Внесём [math]I_a[/math] в скобки и разделим обе части на [math](\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))[/math]:

$$ \frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = j \cdot B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right) $$

Преобразуем:

$$ E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = j \cdot B \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - B \cdot I_a \cdot X^\prime $$

Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$ \left\{\begin{array}{@{}l@{}} \cos(\varphi) \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) \end{array}\right. $$

Выразим [math]I_a[/math] из первого уравнения:

$$ I_a = - \cos(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime} $$

Подставим [math]I_a[/math] во второе уравнение:

$$ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot K - B \cdot \cos(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime} $$

Домножим на [math]X^\prime[/math], приведем подобные:

$$ -\sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime $$

$$ \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime $$

Введем переменные:

$$ A = \sqrt{(E \cdot R^\prime)^2 + (E \cdot X^\prime)^2} $$

$$ \alpha = atan2\left( (E \cdot X^\prime), (E \cdot R^\prime) \right) $$

$$ \cos(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A} $$ $$ \sin(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A} $$

Подставим переменные, разделив уравнение на [math]A[/math]:

$$ \cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) - \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

Записанное слева — косинус разности:

$$ \cos(\varphi + \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} $$

Решим относительно [math]\varphi[/math]:

$$ \varphi = - \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z} $$

[math]I_a[/math] находится из второго уравнения системы:

$$ \left\{\begin{array}{@{}l@{}} \cos(\varphi) \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\ -\sin(\varphi) \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) \end{array}\right. $$

И подставляется в выражение:

$$ R_a = \frac{K}{I_a} $$

Моделирование дуговых поперечных несимметричных режимов в RastrWin — различия между версиями

Текущая версия на 21:18, 7 апреля 2023

Содержание

Оценка сопротивления дуги

Короткие замыкания на землю

Трехфазное КЗ

Однофазное КЗ

Двухфазное КЗ на землю

Общая часть

Короткие замыкания без земли

Двухфазное КЗ

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 = Оценка сопротивления дуги =
+[[Файл:Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.png|thumb|400px|Рисунок 1. Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.]]
 По расчётным данным металлического короткого замыкания можно оценить сопротивление дуги с учётом того, что:
-* Есть только переодическая состовляющая тока короткого замыкания.
+* Есть только периодическая составляющая тока короткого замыкания.
 * Сопротивление дуги с течением времени постоянно.
+* ЭДС совпадает по направлению с осью действительных чисел.
 Для каждого вида короткого замыкания можно вывести уравнение для оценки сопротивления дуги.
-== Трёхфазные замыкания==
+Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
-[[Файл:Моделирование поперечной несимметрии при К(3).svg|thumb|500px|Рисунок 1. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).]]
-Пусть дуга это просто три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
+Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
 Обозначения:
 $$
-\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right),
+\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right),
 $$
 $$
-\dot{E} = E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}
+\dot{E} = E,
 $$
 $$
-\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1
+\dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0,
 $$
-. Система для решения:
 $$
-\left\{
+\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1,
-\begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\
-R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
-\end{array}\right.
 $$
-. Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
-. Решение:
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое
 $$
-\dot{E} = \dot{I}_a \cdot \left(\frac{K}{I_a} + \dot{Z}_1 \right)
+\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2.
 $$
-* Подставим величины из обозначений:
+=Короткие замыкания на землю=
-$$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R_1 + j \cdot X_1 \right)
-$$
-* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
+==Трехфазное КЗ==
+[[Файл:Трехфазное КЗ через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).]]
+Система для решения:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+\left\{
-E^\prime = I_a \cdot \left(\cos(\psi)  \cdot (\frac{K}{I_a} + R_1) - \sin(\psi) \cdot X_1 \right), \\
+\begin{array}{@{}l@{}}
-E^{\prime\prime} = I_a \cdot \left(\sin(\psi) \cdot (\frac{K}{I_a} + R_1) + \cos(\psi) \cdot X_1 \right)
+\dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\
+R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
 \end{array}\right.
 $$
-* Раскроем оставшиеся скобки:
+* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+K = U \cdot L
-E^\prime = \cos(\psi)  \cdot (K + I_a \cdot R_1) - \sin(\psi) \cdot I_a \cdot X_1 , \\
-E^{\prime\prime} = \sin(\psi) \cdot (K + I_a \cdot R_1) + \cos(\psi) \cdot I_a \cdot X_1
-\end{array}\right.
 $$
-* Перепишем в виде СЛУ:
 $$
-\begin{bmatrix}
+B = 1
-E^\prime \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R_1 \\
-I_a \cdot X_1 \\
-\end{bmatrix}
 $$
-* Заметим ортогональную матрицу (можно было сделать еще в комплексной форме):
 $$
-\begin{bmatrix}
+R^\prime = R_1
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-^{-1}
-=
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
 $$
-* Решение системы:
 $$
-\begin{bmatrix}
+X^\prime = X_1
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-E^{\prime} \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R_1 \\
-I_a \cdot X_1 \\
-\end{bmatrix}
 $$
-* Запишем в виде системы:
+==Однофазное КЗ==
+[[Файл:Однофазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).]]
+Система для решения:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+\left\{
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = K + I_a \cdot R_1 , \\
+\begin{array}{@{}l@{}}
--\sin(\psi)  \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime}  = I_a \cdot X_1
+\dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\
+R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
 \end{array}\right.
-$$
-* Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
-$$
-I_a = -\sin(\psi)  \cdot \frac{E^\prime}{X_1} + \cos(\psi) \cdot \frac{E^{\prime\prime}}{X_1}
 $$
-* Подставим <math>I_a</math> в первое уравнение:
+* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
 $$
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = K - \sin(\psi)  \cdot \frac{E^\prime \cdot R_1}{X_1} + \cos(\psi) \cdot \frac{E^{\prime\prime} \cdot R_1}{X_1}
+K = U \cdot L
 $$
-* Домножим на <math>X_1</math>, приведем подобные:
 $$
-\cos(\psi) \cdot E^\prime \cdot X_1 + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot X_1 = K \cdot X_1 - \sin(\psi) \cdot E^\prime \cdot R_1 + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime} \cdot R_1
+B = \frac{1}{3}
 $$
 $$
-\cos(\psi) \cdot (E^\prime \cdot X_1 - E^{\prime\prime} \cdot R_1) + \sin(\psi) \cdot (E^{\prime\prime} \cdot X_1 + E^\prime \cdot R_1) = K \cdot X_1
+R^\prime = R_0 + R_1 + R_2
 $$
-* Введем переменные:
 $$
-A = \sqrt{(E^\prime \cdot X_1 - E^{\prime\prime} \cdot R_1)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot X_1 + E^\prime \cdot R_1)^2}
+X^\prime = X_0 + X_1 + X_2
-= \sqrt{(E^\prime \cdot X_1)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot R_1)^2 + (E^{\prime\prime} \cdot X_1)^2 + (E^\prime \cdot R_1)^2}
 $$
-$$
+==Двухфазное КЗ на землю==
-\alpha = atan2\left( (E^\prime \cdot X_1 - E^{\prime\prime} \cdot R_1), (E^{\prime\prime} \cdot X_1 + E^\prime \cdot R_1) \right)
+[[Файл:Двухфазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).]]
-$$
+Система для решения:
 $$
-\cos(\alpha) = \frac{E^\prime \cdot X_1 - E^{\prime\prime} \cdot R_1}{A}
+\left\{
-$$
+\begin{array}{@{}l@{}}
-$$
+\dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(2 \cdot R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\
-\sin(\alpha) = \frac{E^{\prime\prime} \cdot X_1 + E^\prime \cdot R_1}{A}
+\cdot R_a = \frac{2 \cdot U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
+\end{array}\right.
 $$
-* Подставим переменные, разделив уравнение на <math>A</math>:
+* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
 $$
-\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{K \cdot X_1}{A}
+K = 2 \cdot U \cdot L
 $$
-* Записанное слева — косинус разности:
 $$
-\cos(\psi - \alpha) = \frac{K \cdot X_1}{A}
+B = - \frac{1}{3}
 $$
-* Решим относительно <math>\psi</math>:
 $$
-\psi = \alpha \pm acos \left( \frac{K \cdot X_1}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
+R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
 $$
-* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.
-== Однофазные замыкания ==
-[[Файл:Поперечная несимметрия К(1).svg|thumb|500px|Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).]]
-Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
-Обозначения:
 $$
-\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right),
+X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
-$$
-$$
-\dot{E} = E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}
-$$
-$$
-\dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0
-$$
-$$
-\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1
-$$
-$$
-\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2
 $$
-. Система для решения:
+==Общая часть==
+Общая система для решения:
 $$
 \left\{
 \begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\
+\dot{E} = B \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + R^\prime + j \cdot X^\prime), \\
-R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
+R_a = \frac{K}{I_a}
 \end{array}\right.
 $$
-. Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
+Решение:
-. Решение:
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое
 $$
-\dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(\frac{K}{I_a} + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2\right)
+E = B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
 $$
-* Подставим величины из обозначений:
+* Внесём <math>I_a</math> в скобки и разделим обе части на <math>(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))</math>:
 $$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = \frac{1}{3} \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R_0 + j \cdot X_0 + R_1 + j \cdot X_1 + R_2 + j \cdot X_2 \right)
+\frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
 $$
-* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
+* Преобразуем:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
-E^\prime = \frac{1}{3} I_a \cdot \left(\cos(\psi)  \cdot (\frac{K}{I_a} + R_0 + R_1 + R_2) - \sin(\psi) \cdot (X_0 + X_1 + X_2) \right), \\
-E^{\prime\prime} = \frac{1}{3} I_a \cdot \left(\sin(\psi) \cdot (\frac{K}{I_a} + R_0 + R_1 + R_2) + \cos(\psi) \cdot (X_0 + X_1 + X_2) \right)
-\end{array}\right.
 $$
-* Раскроем оставшиеся скобки:
+* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+\left\{\begin{array}{@{}B@{}}
-\cdot E^\prime = \cos(\psi)  \cdot (K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) - \sin(\psi) \cdot I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2) , \\
+\cos(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\
-\cdot E^{\prime\prime} = \sin(\psi) \cdot (K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) + \cos(\psi) \cdot I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2)
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime
 \end{array}\right.
 $$
-* Перепишем в виде СЛУ:
-$$
-\begin{bmatrix}
-E^\prime \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\frac{1}{3}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2) \\
-I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Заметим ортогональную матрицу (можно было сделать еще в комплексной форме):
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-^{-1}
-=
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Решение системы:
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-E^{\prime} \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\frac{1}{3}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2) \\
-I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Запишем в виде системы:
-$$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = \frac{1}{3} \left(K + I_a \cdot (R_0 + R_1 + R_2)\right) , \\
--\sin(\psi)  \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime}  = \frac{1}{3} I_a \cdot (X_0 + X_1 + X_2)
-\end{array}\right.
-$$
 * Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
 $$
-I_a = -\sin(\psi)  \cdot \frac{3 E^\prime}{X_0 + X_1 + X_2} + \cos(\psi) \cdot \frac{3 E^{\prime\prime}}{X_0 + X_1 + X_2}
+I_a = -\sin(\varphi)  \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime}
 $$
@@ Строка 337: / Строка 163: @@
 $$
-\cos(\psi)  \cdot 3 E^\prime + \sin(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} = K - \sin(\psi)  \cdot \frac{3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2)}{X_0 + X_1 + X_2} + \cos(\psi) \cdot \frac{3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)}{X_0 + X_1 + X_2}
+\cos(\varphi)  \cdot E = B \cdot K - B \cdot \sin(\varphi)  \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime}
 $$
-* Домножим на <math>X_0 + X_1 + X_2</math>, приведем подобные:
+* Домножим на <math>X^\prime</math>, приведем подобные:
 $$
-\cos(\psi) \cdot 3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + \sin(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) = K \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - \sin(\psi) \cdot 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2) + \cos(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)
+\cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime
 $$
 $$
-\cos(\psi) \cdot (3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) + \sin(\psi) \cdot (3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) = K \cdot (X_0 + X_1 + X_2)
+\cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime + \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime
 $$
@@ Строка 353: / Строка 179: @@
 $$
-A = \sqrt{(3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2))^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2))^2}
+A = \sqrt{(E \cdot X^\prime)^2 + (E \cdot R^\prime)^2}
-= \sqrt{(3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2))^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2))^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2))^2 + (3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2))^2}
 $$
 $$
-\alpha = atan2\left( (3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)), (3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2)) \right)
+\alpha = atan2\left( (E \cdot R^\prime), (E \cdot X^\prime) \right)
 $$
 $$
-\cos(\alpha) = \frac{3 E^\prime \cdot (X_0 + X_1 + X_2) - 3 E^{\prime\prime} \cdot (R_0 + R_1 + R_2)}{A}
+\cos(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A}
 $$
 $$
-\sin(\alpha) = \frac{3 E^{\prime\prime} \cdot (X_0 + X_1 + X_2) + 3 E^\prime \cdot (R_0 + R_1 + R_2)}{A}
+\sin(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A}
 $$
@@ Строка 371: / Строка 196: @@
 $$
-\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{K \cdot (X_0 + X_1 + X_2)}{A}
+\cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
 $$
 * Записанное слева — косинус разности:
 $$
-\cos(\psi - \alpha) = \frac{K \cdot (X_0 + X_1 + X_2)}{A}
+\cos(\varphi - \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
 $$
-* Решим относительно <math>\psi</math>:
+* Решим относительно <math>\varphi</math>:
 $$
-\psi = \alpha \pm acos \left( \frac{K \cdot (X_0 + X_1 + X_2)}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
+\varphi = \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot  K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
 $$
-* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.
+* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы:
-== Двухфазные замыкания без земли ==
-[[Файл:ИМоделирование поперечной несимметрии при К(2).svg|thumb|500px|Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).]]
-Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
-Обозначения:
 $$
-\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right),
+\left\{\begin{array}{@{}B@{}}
+\cos(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime
+\end{array}\right.
 $$
+* И подставляется в выражение:
 $$
-\dot{E} = E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}
+R_a = \frac{K}{I_a}
 $$
-$$
+= Короткие замыкания без земли =
-\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1
-$$
+==Двухфазное КЗ==
-$$
+[[Файл:Междуфазное КЗ через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 5. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).]]
-\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2
-$$
-. Система для решения:
+Система для решения:
 $$
 \left\{
 \begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\
+\dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot (\frac{R_a}{2} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\
-R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
+\frac{R_a}{2} = \frac{U \cdot L}{2 \cdot I_a} = \frac{K}{I_a}
 \end{array}\right.
 $$
-. Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
+* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
-. Решение:
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое
 $$
-\dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(\frac{K}{I_a} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2 \right)
+K =\frac{U \cdot L}{2}
 $$
-* Подставим величины из обозначений:
 $$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R_1 + j \cdot X_1 + R_2 + j \cdot X_2 \right)
+B =\frac{1}{\sqrt{3}}
 $$
-* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+R^\prime = R_1 + R_2
-E^\prime = \frac{1}{\sqrt{3}} I_a \cdot \left( - \sin(\psi)  \cdot (\frac{K}{I_a} + R_1 + R_2) - \cos(\psi) \cdot (X_1 + X_2) \right), \\
-E^{\prime\prime} = \frac{1}{\sqrt{3}} I_a \cdot \left(\cos(\psi) \cdot (\frac{K}{I_a} + R_1 + R_2) - \sin(\psi) \cdot (X_1 + X_2) \right)
-\end{array}\right.
 $$
-* Раскроем оставшиеся скобки:
 $$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
+X^\prime = X_1 + X_2
-\sqrt{3} \cdot E^\prime = - \sin(\psi)  \cdot (K + I_a \cdot (R_1 + R_2)) - \cos(\psi) \cdot I_a \cdot (X_1 + X_2) , \\
-\sqrt{3} \cdot E^{\prime\prime} = \cos(\psi) \cdot (K + I_a \cdot (R_1 + R_2)) - \sin(\psi) \cdot I_a \cdot (X_1 + X_2)
-\end{array}\right.
 $$
-* Перепишем в виде СЛУ:
+Решение:
 $$
-\begin{bmatrix}
+E = j\cdot B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
-E^\prime \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\frac{1}{\sqrt{3}}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
--\sin(\psi) & - \cos(\psi) \\
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot (R_1 + R_2) \\
-I_a \cdot (X_1 + X_2) \\
-\end{bmatrix}
 $$
-* Заметим ортогональную матрицу (можно было сделать еще в комплексной форме):
+* Внесём <math>I_a</math> в скобки и разделим обе части на <math>(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))</math>:
 $$
-\begin{bmatrix}
+\frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = j \cdot B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
--\sin(\psi) & - \cos(\psi) \\
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-^{-1}
-=
-\begin{bmatrix}
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
--\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\end{bmatrix}
 $$
-* Решение системы:
+* Преобразуем:
 $$
-\begin{bmatrix}
+E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = j \cdot B \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - B \cdot I_a \cdot X^\prime
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
--\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-E^{\prime} \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
-\frac{1}{\sqrt{3}}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot (R_1 + R_2) \\
-I_a \cdot (X_1 + X_2) \\
-\end{bmatrix}
 $$
-* Запишем в виде системы:
+* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
 $$
 \left\{\begin{array}{@{}l@{}}
--\sin(\psi)  \cdot \sqrt{3} E^\prime + \cos(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime} = K + I_a \cdot (R_1 + R_2) , \\
+\cos(\varphi)  \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\
--\cos(\psi)  \cdot \sqrt{3} E^\prime - \sin(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime}  = I_a \cdot (X_1 + X_2)
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right)
 \end{array}\right.
 $$
-* Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
+* Выразим <math>I_a</math> из первого уравнения:
 $$
-I_a = -\cos(\psi)  \cdot \frac{\sqrt{3} E^\prime}{(X_1 + X_2)} - \sin(\psi) \cdot \frac{\sqrt{3} E^{\prime\prime}}{(X_1 + X_2)}
+I_a = - \cos(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime}
 $$
-* Подставим <math>I_a</math> в первое уравнение:
+* Подставим <math>I_a</math> во второе уравнение:
 $$
--\sin(\psi)  \cdot \sqrt{3} E^\prime + \cos(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime} = K - \cos(\psi)  \cdot \frac{\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2)}{X_1 + X_2} - \sin(\psi) \cdot \frac{\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2)}{X_1 + X_2}
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot K - B \cdot \cos(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime}
 $$
-* Домножим на <math>X_1 + X_2</math>, приведем подобные:
+* Домножим на <math>X^\prime</math>, приведем подобные:
 $$
--\sin(\psi)  \cdot \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2) + \cos(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2) = K \cdot (X_1 + X_2) - \cos(\psi) \cdot \sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) - \sin(\psi) \cdot \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2)
+-\sin(\varphi)  \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime
 $$
 $$
-\cos(\psi) \cdot (\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) + \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2)) + \sin(\psi) \cdot (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2) - \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2)) = K \cdot (X_1 + X_2)
+\cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime
 $$
@@ Строка 544: / Строка 304: @@
 $$
-A = \sqrt{(\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) + \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2))^2 + (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2) - \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2))^2}
+A = \sqrt{(E \cdot R^\prime)^2 + (E \cdot X^\prime)^2}
-= \sqrt{(\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2))^2 + (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2))^2 + (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2))^2 + (\sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2))^2}
 $$
 $$
-\alpha = atan2\left( (\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) + \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2)), (\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2) - \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2)) \right)
+\alpha = atan2\left( (E \cdot X^\prime), (E \cdot R^\prime) \right)
 $$
 $$
-\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3} E^\prime \cdot (R_1 + R_2) + \sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (X_1 + X_2)}{A}
+\cos(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A}
 $$
 $$
-\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3} E^{\prime\prime} \cdot (R_1 + R_2) - \sqrt{3} E^\prime \cdot (X_1 + X_2)}{A}
+\sin(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A}
 $$
@@ Строка 562: / Строка 321: @@
 $$
-\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{K \cdot (X_1 + X_2)}{A}
+\cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) - \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
 $$
 * Записанное слева — косинус разности:
 $$
-\cos(\psi - \alpha) = \frac{K \cdot (X_1 + X_2)}{A}
+\cos(\varphi + \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
 $$
-* Решим относительно <math>\psi</math>:
+* Решим относительно <math>\varphi</math>:
 $$
-\psi = \alpha \pm acos \left( \frac{K \cdot (X_1 + X_2)}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
+\varphi = - \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot  K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
 $$
-* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.
+* <math>I_a</math> находится из второго уравнения системы:
-== Двухфазные замыкания на землю ==
-[[Файл:Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).svg|thumb|500px|Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).]]
-Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.
-Обозначения:
-$$
-\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right),
-$$
-$$
-\dot{E} = E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime}
-$$
-$$
-\dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0
-$$
-$$
-\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1
-$$
-$$
-\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2
-$$
-. Система для решения:
-$$
-\left\{
-\begin{array}{@{}l@{}}
-\dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\
-R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
-\end{array}\right.
-$$
-. Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>
-. Решение:
-* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое
-$$
-\dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(\frac{K}{I_a} + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right)
-$$
-* Подставим величины из обозначений:
-$$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = - \frac{1}{3} \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R_0 + j \cdot X_0 + R_1 + j \cdot X_1 +\frac{(R_0 + j \cdot X_0) \cdot (R_1 + j \cdot X_1)}{R_2 + j \cdot X_2} \right)
-$$
-* Раскроем скобки, разделим действительную и мнимую составляющие сопротивлений, связанных с симметричными составляющими:
-$$
-R^\prime + j \cdot X^\prime = R_0 + j \cdot X_0 + R_1 + j \cdot X_1 +\frac{(R_0 + j \cdot X_0) \cdot (R_1 + j \cdot X_1)}{R_2 + j \cdot X_2}
-$$
-$$
-R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
-$$
-$$
-X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
-$$
-$$
-E^\prime + j \cdot E^{\prime\prime} = - \frac{1}{3} \cdot I_a \cdot \left(\cos(\psi) + j \cdot \sin(\psi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
-$$
-* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:
 $$
 \left\{\begin{array}{@{}l@{}}
-E^\prime = - \frac{1}{3} I_a \cdot \left(\cos(\psi)  \cdot (\frac{K}{I_a} + R^\prime) - \sin(\psi) \cdot X^\prime \right), \\
+\cos(\varphi)  \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\
-E^{\prime\prime} = - \frac{1}{3} I_a \cdot \left(\sin(\psi) \cdot (\frac{K}{I_a} + R^\prime) + \cos(\psi) \cdot X^\prime \right)
+-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right)
 \end{array}\right.
 $$
-* Раскроем оставшиеся скобки:
+* И подставляется в выражение:
-$$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
--3 \cdot E^\prime = \cos(\psi)  \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - \sin(\psi) \cdot I_a \cdot X^\prime , \\
--3 \cdot E^{\prime\prime} = \sin(\psi) \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) + \cos(\psi) \cdot I_a \cdot X^\prime
-\end{array}\right.
-$$
-* Перепишем в виде СЛУ:
-$$
-\begin{bmatrix}
-E^\prime \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
--
-\frac{1}{3}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R^\prime \\
-I_a \cdot X^\prime \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Заметим ортогональную матрицу (можно было сделать еще в комплексной форме):
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & - \sin(\psi) \\
-\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-^{-1}
-=
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Решение системы:
-$$
-\begin{bmatrix}
-\cos(\psi) & \sin(\psi) \\
--\sin(\psi) & \cos(\psi) \\
-\end{bmatrix}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-E^{\prime} \\
-E^{\prime\prime} \\
-\end{bmatrix}
-=
--
-\frac{1}{3}
-\cdot
-\begin{bmatrix}
-K + I_a \cdot R^\prime \\
-I_a \cdot X^\prime \\
-\end{bmatrix}
-$$
-* Запишем в виде системы:
-$$
-\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
-\cos(\psi)  \cdot E^\prime + \sin(\psi) \cdot E^{\prime\prime} = - \frac{1}{3} \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\
--\sin(\psi)  \cdot E^\prime + \cos(\psi) \cdot E^{\prime\prime}  = - \frac{1}{3} I_a \cdot X^\prime
-\end{array}\right.
-$$
-* Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
-$$
-I_a = \sin(\psi)  \cdot \frac{3 E^\prime}{X^\prime} - \cos(\psi) \cdot \frac{3 E^{\prime\prime}}{X^\prime}
-$$
-* Подставим <math>I_a</math> в первое уравнение:
-$$
-- \cos(\psi)  \cdot 3 E^\prime - \sin(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} = K + \sin(\psi)  \cdot \frac{3 E^\prime \cdot R^\prime}{X^\prime} - \cos(\psi) \cdot \frac{3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime}{X^\prime}
-$$
-* Домножим на <math>X^\prime</math>, приведем подобные:
-$$
--\cos(\psi) \cdot 3 E^\prime \cdot X^\prime - \sin(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime = K \cdot X^\prime + \sin(\psi) \cdot 3 E^\prime \cdot R^\prime - \cos(\psi) \cdot 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime
-$$
-$$
-\cos(\psi) \cdot (3 E^\prime \cdot X^\prime - 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime) + \sin(\psi) \cdot (3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + 3 E^\prime \cdot R^\prime) = - K \cdot X^\prime
-$$
-* Введем переменные:
-$$
-A = \sqrt{(3 E^\prime \cdot X^\prime - 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime)^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + 3 E^\prime \cdot R^\prime)^2}
-= \sqrt{(3 E^\prime \cdot X^\prime)^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime)^2 + (3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime)^2 + (3 E^\prime \cdot R^\prime)^2}
-$$
-$$
-\alpha = atan2\left( (3 E^\prime \cdot X^\prime - 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime), (3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + 3 E^\prime \cdot R^\prime) \right)
-$$
-$$
-\cos(\alpha) = \frac{3 E^\prime \cdot X^\prime - 3 E^{\prime\prime} \cdot R^\prime}{A}
-$$
-$$
-\sin(\alpha) = \frac{3 E^{\prime\prime} \cdot X^\prime + 3 E^\prime \cdot R^\prime}{A}
-$$
-* Подставим переменные, разделив уравнение на <math>A</math>:
-$$
-\cos(\psi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\psi) \cdot \sin(\alpha) = - \frac{K \cdot X^\prime}{A}
-$$
-* Записанное слева — косинус разности:
-$$
-\cos(\psi - \alpha) = - \frac{K \cdot X^\prime}{A}
-$$
-* Решим относительно <math>\psi</math>:
 $$
-\psi = \alpha \pm acos \left(- \frac{K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
+R_a = \frac{K}{I_a}
 $$
-* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы 7.