Просмотр исходного текста страницы Моделирование дуговых поперечных несимметричных режимов в RastrWin

{{Незавершенная статья}}

В статье описан подход к моделированию поперечных несимметричных режимов в ПК [[RastrWin]]. 
Такие модели необходимы для расчётов дуговых [[короткое замыкание|коротких замыканий]].

= Оценка сопротивления дуги =
[[Файл:Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.png|thumb|400px|Рисунок 1. Комплексная схема симметричных составляющих для всех видов КЗ.]]
По расчётным данным металлического короткого замыкания можно оценить сопротивление дуги с учётом того, что:
* Есть только периодическая составляющая тока короткого замыкания.
* Сопротивление дуги с течением времени постоянно.
* ЭДС совпадает по направлению с осью действительных чисел.

Для каждого вида короткого замыкания можно вывести уравнение для оценки сопротивления дуги.

Пусть дуга это три одинаковых сопротивления, соединяющих провод, по ней течет ток, равный <math>I_a</math> по модулю.

Неизвестные: <math>R_a, I_a</math>

Обозначения:
$$
\dot{I}_a = I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right),
$$

$$
\dot{E} = E,
$$

$$
\dot{Z}_0 = R_0 + j \cdot X_0,
$$

$$
\dot{Z}_1 = R_1 + j \cdot X_1,
$$

$$
\dot{Z}_2 = R_2 + j \cdot X_2.
$$

=Короткие замыкания на землю=

==Трехфазное КЗ==
[[Файл:Трехфазное КЗ через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 2. Моделирование поперечной несимметрии при К(3).]]

Система для решения: 
$$
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\dot{E} = \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_1), \\
R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
\end{array}\right.
$$

* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
$$
K = U \cdot L
$$
$$
B = 1
$$
$$
R^\prime = R_1
$$
$$
X^\prime = X_1
$$

==Однофазное КЗ==
[[Файл:Однофазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 3. Моделирование поперечной несимметрии при К(1).]]

Система для решения: 
$$
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\dot{E} = \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\
R_a = \frac{U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
\end{array}\right.
$$

* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
$$
K = U \cdot L
$$
$$
B = \frac{1}{3}
$$
$$
R^\prime = R_0 + R_1 + R_2
$$
$$
X^\prime = X_0 + X_1 + X_2
$$

==Двухфазное КЗ на землю==
[[Файл:Двухфазное КЗ на землю через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 4. Моделирование поперечной несимметрии при К(1,1).]]

Система для решения: 
$$
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\dot{E} = - \frac{1}{3} \cdot \dot{I}_a \cdot \left(2 \cdot R_a + \dot{Z}_0 + \dot{Z}_1 + \frac{\dot{Z}_0 \cdot \dot{Z}_1}{\dot{Z}_2}\right), \\
2 \cdot R_a = \frac{2 \cdot U \cdot L}{I_a} = \frac{K}{I_a}
\end{array}\right.
$$

* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
$$
K = 2 \cdot U \cdot L
$$
$$
B = - \frac{1}{3}
$$
$$
R^\prime = R_0 + R_1 + \frac{R_0 R_1 R_2 - X_0 X_1 R_2 + R_0 X_1 X_2 + X_0 R_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
$$
$$
X^\prime = X_0 + X_1 + \frac{R_0 X_1 R_2 + X_0 R_1 R_2 - R_0 R_1 X_2 + X_0 X_1 X_2}{R_2^{2} + X_2^{2}}
$$

==Общая часть==
Общая система для решения: 
$$
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\dot{E} = B \cdot \dot{I}_a \cdot (R_a + R^\prime + j \cdot X^\prime), \\
R_a = \frac{K}{I_a}
\end{array}\right.
$$

Решение:

$$
E = B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
$$

* Внесём <math>I_a</math> в скобки и разделим обе части на <math>(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))</math>:

$$
\frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
$$

* Преобразуем:

$$
E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
$$

* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$
\left\{\begin{array}{@{}B@{}}
\cos(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\
-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime 
\end{array}\right.
$$

* Выразим <math>I_a</math> из второго уравнения:
$$
I_a = -\sin(\varphi)  \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime}
$$

* Подставим <math>I_a</math> в первое уравнение:

$$
\cos(\varphi)  \cdot E = B \cdot K - B \cdot \sin(\varphi)  \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime}
$$

* Домножим на <math>X^\prime</math>, приведем подобные:

$$
\cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime
$$

$$
\cos(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime + \sin(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime
$$

* Введем переменные:

$$
A = \sqrt{(E \cdot X^\prime)^2 + (E \cdot R^\prime)^2}
$$

$$
\alpha = atan2\left( (E \cdot R^\prime), (E \cdot X^\prime) \right)
$$

$$
\cos(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A}
$$
$$
\sin(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A}
$$

* Подставим переменные, разделив уравнение на <math>A</math>:

$$
\cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) + \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
$$

* Записанное слева — косинус разности:
$$
\cos(\varphi - \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
$$

* Решим относительно <math>\varphi</math>:

$$
\varphi = \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot  K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
$$

* <math>I_a</math> находится из первого уравнения системы:
$$
\left\{\begin{array}{@{}B@{}}
\cos(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right) , \\
-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot I_a \cdot X^\prime 
\end{array}\right.
$$

* И подставляется в выражение: 
$$
R_a = \frac{K}{I_a}
$$

= Короткие замыкания без земли =

==Двухфазное КЗ==

[[Файл:Междуфазное КЗ через сопротивление дуги.png|thumb|250px|Рисунок 5. Моделирование поперечной несимметрии при К(2).]]

Система для решения:

$$
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\dot{E} = j\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dot{I}_a \cdot (\frac{R_a}{2} + \dot{Z}_1 + \dot{Z}_2), \\
\frac{R_a}{2} = \frac{U \cdot L}{2 \cdot I_a} = \frac{K}{I_a}
\end{array}\right.
$$

* Подставим <math>R_a</math> из второго уравнения в первое и выполним замену:
$$
K =\frac{U \cdot L}{2}
$$
$$
B =\frac{1}{\sqrt{3}}
$$
$$
R^\prime = R_1 + R_2
$$
$$
X^\prime = X_1 + X_2
$$

Решение:

$$
E = j\cdot B \cdot I_a \cdot \left(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi) \right) \cdot \left(\frac{K}{I_a} + R^\prime + j \cdot X^\prime \right)
$$

* Внесём <math>I_a</math> в скобки и разделим обе части на <math>(\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))</math>:

$$
\frac{E}{\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi)} = j \cdot B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime + j \cdot I_a \cdot X^\prime \right)
$$

* Преобразуем:

$$
E \cdot (\cos(\varphi) - j \cdot \sin(\varphi)) = j \cdot B \cdot (K + I_a \cdot R^\prime) - B \cdot I_a \cdot X^\prime
$$

* Раскроем скобки, приравняем действительные и мнимые компоненты:

$$
\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
\cos(\varphi)  \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\
-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right)
\end{array}\right.
$$

* Выразим <math>I_a</math> из первого уравнения:
$$
I_a = - \cos(\varphi) \cdot \frac{E}{B \cdot X^\prime}
$$

* Подставим <math>I_a</math> во второе уравнение:

$$
-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot K - B \cdot \cos(\varphi) \cdot \frac{E \cdot R^\prime}{B \cdot X^\prime}
$$

* Домножим на <math>X^\prime</math>, приведем подобные:

$$
-\sin(\varphi)  \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime - \cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime
$$

$$
\cos(\varphi) \cdot E \cdot R^\prime - \sin(\varphi) \cdot E \cdot X^\prime = B \cdot K \cdot X^\prime
$$

* Введем переменные:

$$
A = \sqrt{(E \cdot R^\prime)^2 + (E \cdot X^\prime)^2}
$$

$$
\alpha = atan2\left( (E \cdot X^\prime), (E \cdot R^\prime) \right)
$$

$$
\cos(\alpha) = \frac{E \cdot R^\prime}{A}
$$
$$
\sin(\alpha) = \frac{E \cdot X^\prime}{A}
$$

* Подставим переменные, разделив уравнение на <math>A</math>:

$$
\cos(\varphi) \cdot \cos(\alpha) - \sin(\varphi) \cdot \sin(\alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
$$

* Записанное слева — косинус разности:
$$
\cos(\varphi + \alpha) = \frac{B \cdot K \cdot X^\prime}{A}
$$

* Решим относительно <math>\varphi</math>:

$$
\varphi = - \alpha \pm acos \left( \frac{B \cdot  K \cdot X^\prime}{A} \right) + 2\cdot \pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}
$$

* <math>I_a</math> находится из второго уравнения системы:
$$
\left\{\begin{array}{@{}l@{}}
\cos(\varphi)  \cdot E = - B \cdot I_a \cdot X^\prime, \\
-\sin(\varphi)  \cdot E = B \cdot \left(K + I_a \cdot R^\prime \right)
\end{array}\right.
$$

* И подставляется в выражение: 
$$
R_a = \frac{K}{I_a}
$$