Идеальный трансформаторный двухполюсник

Идеальный трансформаторный двухполюсник — это направленный двухполюсник электрической сети (узел начала будем обозначать, как [math]s[/math] «source», а узел конца — как [math]t[/math]) «target», параметром которого является ненулевой (в общем случае, комплексный) коэффициент [math]\dot{K} \neq 0[/math], называемый коэффициент трансформации, и для которого всегда истинно:

[math]\dot{U}_s = \dot{K} \cdot {\dot{U}_t};[/math]

[math]\dot{I}_t = \stackrel{\ast}{K} \cdot \dot{I}_s.[/math]

Обозначение на схеме

Стандартное обозначение идеального трансформаторного двухполюсника.

Введенное обозначение идеального трансформаторного двухполюсника. Не является стандартным, но удобно в обозначении. Полностью эквивалентно указанному стандартному.

Ни учебники, ни стандарты, ни монографии не регламентируют, как именно обозначать на схеме узел начала и узел конца. Чаще всего, направление двухполюсника определяется из контекста задачи, либо явно прописываются тем, или иным образом. В данной статье предлагается круг, относящийся к стороне узла конца делать жирнее круга, относящегося к узлу начала, для ликвидации симметричности обозначения. Когда применено стандартное обозначение, следует идентифицировать начало и конец исходя из контекста.

Связь между мощностью начала и мощностью конца

Параметры для двухполюсника, используемые для соотношений.

Исходя из определения комплексной мощности:

[math]\displaystyle\dot{S}_s = \dot{U}_s \cdot \overset{\ast}{I}_s;[/math]

[math]\displaystyle\dot{S}_t = \dot{U}_t \cdot \overset{\ast}{I}_t.[/math]

Подставим соотношения напряжений начала и конца двухполюсника в определение мощности начала

[math]\displaystyle\dot{S}_s = \dot{U}_s \cdot \overset{\ast}{I}_s = \dot{K} \cdot {\dot{U}_t} \cdot \overset{\ast}{I}_s.[/math]

Подставим соотношения токов начала и конца двухполюсника в определение мощности конца

[math]\displaystyle\dot{S}_t = \dot{U}_t \cdot \overset{\ast}{I}_t = \dot{K} \cdot {\dot{U}_t} \cdot \overset{\ast}{I}_s = {\dot{U}_s} \cdot \overset{\ast}{I}_s.[/math]

Следовательно, для идеального трансформаторного двухполюсника всегда истинно:

[math]\displaystyle\dot{S}_s = \dot{S}_t.[/math]

Пример электрической схемы с трансформатором

В качестве примера для размышления о влиянии идеального трансформаторного двухполюсника на параметры электрического режима можно привести следующую схему:

Рассмотрим первое правило Кирхгофа для узла 1:

[math]\displaystyle\dot{I}_{\text{вход}} = \dot{I}_1 + \dot{I}_2[/math].

Для второго узла соответственно:

[math]\displaystyle\dot{I}_{\text{выход}} = \dot{I}_1 + \stackrel{\ast}{k}_{\text{тр}} \cdot \dot{I}_2[/math].

С учётом того, что ток на входе схемы и на выходе равны друг другу [math]\dot{I}_{\text{вход}} = \dot{I}_{\text{выход}}[/math], то получается следующее равенство:

[math]\displaystyle\dot{I}_1 + \dot{I}_2 = I_1 + \stackrel{\ast}{k}_{\text{тр}} \cdot \dot{I}_2[/math].

И далее получаем:

[math]\displaystyle \dot{I}_2 = \stackrel{\ast}{k}_{\text{тр}} \cdot \dot{I}_2[/math].

С другой стороны, ток на входе идеального трансформатрного двухполюсника не равен току на выходе:

[math]\displaystyle \dot{I}_2 \ne \stackrel{\ast}{k}_{\text{тр}} \cdot \dot{I}_2[/math],

так как [math]\displaystyle \stackrel{\ast}{k}_{\text{тр}} \ne 1[/math].

Отсюда следует, что наличие в схеме идеального трансформаторного двухполюсника приводит к нарушению правила Кирхгофа в токах для группы узлов [math]\dot{I}_{\text{вход}} \ne \dot{I}_{\text{выход}}[/math]. При этом в мощностях правило Кирхгофа для группы узлов всё ещё справедливо:

[math]\displaystyle\dot{S}_{\text{вход}} = \dot{S}_{\text{выход}} + \Delta \dot{S}_{\text{ветвь1}} + \Delta \dot{S}_{\text{ветвь2}}[/math].

Этот парадокс возникает вследствие того, что трансформатор представлен в виде двухполюсника в однолинейной схеме замещения. В случае, если представить однофазный трансформатор в виде четырёхполюсника, то данный парадокс не возникает.

Однако второй закон Кирхгофа для данного случая справедлив. Рассмотрим следующую схему:

По второму закону Кирхгофа [math]\displaystyle\sum_{i=1}^{N}U_{i}=\sum_{i=1}^{N}e_{i}[/math],

в нашем случае имеем: [math]\displaystyle\Delta\dot{U}_{12}-\Delta\dot{U}_{23}-\Delta\dot{U}_{13}=0[/math] или [math]\Delta\dot{U}_{12}=\Delta\dot{U}_{23}+\Delta\dot{U}_{13}[/math], где

[math]\displaystyle\Delta\dot{U}_{12}=\dot{U}_{1}-\dot{U}_{2}[/math],

[math]\displaystyle\Delta\dot{U}_{13}=\dot{U}_{1}-\dot{U}_{3}=\left[\dot{k} = \frac{\dot{U}_{3}}{\dot{U}_{1}}\right] = \dot{U}_{1}-\dot{k} \cdot \dot{U}_{1} = \dot{U}_{1}\left(1-\dot{k}\right)[/math],

[math]\displaystyle\Delta\dot{U}_{23}=\dot{U}_{3}-\dot{U}_{2}=\dot{k} \cdot \dot{U}_{1}-\dot{U}_{2}[/math],

получаем, что:

[math]\displaystyle\dot{U}_{1}-\dot{U}_{2} = \left(\dot{k} \cdot \dot{U}_{1}-\dot{U}_{2}\right)+\left(\dot{U}_{1}-\dot{k} \cdot \dot{U}_{1}\right)\Longrightarrow\dot{U}_{1}-\dot{U}_{2} = -\dot{U}_{2}+\dot{U}_{1}[/math],

левая часть уравнения равна правой части, отсюда следует, что второй закон Кирхгофа выполняется.